次数の数だけ繰り返せば必ず終わる - 多項式と指数関数の積分

$\int x^{2} e^{x} d x$ に部分積分を 1 回当てても、 $\int x e^{x} d x$ が残る。まだ積分が残っているが、 $x$ の次数は $2$ から $1$ へ下がった。

もう 1 回当てれば $\int e^{x} d x$ になり、そこで終わる。多項式の次数の数だけ繰り返せば、必ず片づく^[1]。

$\int x^{2} e^{x} d x = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C$

繰り返すたびに次数が 1 ずつ落ちる。この落ち方が見えていれば、何回で終わるかが最初から分かる。

次数が落ちていく

$f = x^{n}$ を微分側に置くと、 $f^{'} = n x^{n - 1}$ になる。残る積分の多項式は次数が 1 小さい。

$\int x^{3} e^{x} d x$

$\int x^{2} e^{x} d x$

$\int x e^{x} d x$

$\int e^{x} d x$

最後は多項式が定数になり、指数関数だけの積分になる。 $x^{n}$ なら $n$ 回で終わる。

右側に緑の項が 1 つずつ積み上がる。4 段そろったときが答えである。

例 1： $x^{2} e^{x}$

1 回目は $f = x^{2}$ 、 $g^{'} = e^{x}$ とする。

$\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} d x$

残った積分にもう一度当てる。 $\int x e^{x} d x = (x - 1) e^{x}$ である。

$= x^{2} e^{x} - 2 (x - 1) e^{x} + C = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C$

微分して確かめると $(2 x - 2) e^{x} + (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} = x^{2} e^{x}$ になり、もとに戻る。

例 2： $x^{3} e^{x}$

3 回繰り返す。係数は $3$ 、 $3 \cdot 2 = 6$ 、 $6 \cdot 1 = 6$ と階乗の形で増える。

$\int x^{3} e^{x} d x = (x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6) e^{x} + C$

符号が交互になる。 $e^{x}$ をくくり出すと、括弧の中は次数の下がる多項式になる。

表にすると速い

繰り返しの部分積分は、表を作ると計算が整理できる^[3]。左の列を微分し続け、右の列を積分し続ける。

左が $0$ になったら止め、斜めに掛けて符号を交互に付けて足す。

表の斜めの線を上から順に読むと、 $x^{3} e^{x}$ 、 $- 3 x^{2} e^{x}$ 、 $+ 6 x e^{x}$ 、 $- 6 e^{x}$ となる。足せば例 2 の答えと一致する。

三角関数でも同じ

$sin x$ と $cos x$ も、積分するたびに形が循環するだけで複雑にならない。積分側に置ける^[2]。

例 3： $x^{2} sin x$

$g^{'} = sin x$ なので $g = - cos x$ である。

$\int x^{2} sin x d x = - x^{2} cos x + 2 \int x cos x d x = - x^{2} cos x + 2 (x sin x + cos x) + C = - x^{2} cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C$

$\int x cos x d x = x sin x + cos x$ を使った。符号の管理がいちばん間違えやすいところ。

例 4： $x^{2} cos x$

$\int x^{2} cos x d x = x^{2} sin x - 2 \int x sin x d x = x^{2} sin x - 2 (- x cos x + sin x) + C = x^{2} sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C$

例 5：定積分で計算する

$\int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x$

原始関数が分かっているので、代入するだけで済む。

$= [(x^{2} - 2 x + 2) e^{x}]_{0}^{1} = (1 - 2 + 2) e - 2 = e - 2$

$e - 2 \approx 0.718$ である。

例 6： $\int_{0}^{π} x^{2} sin x d x$

例 3 の原始関数に代入する。

$= [- x^{2} cos x + 2 x sin x + 2 cos x]_{0}^{π} = (π^{2} + 0 - 2) - (0 + 0 + 2) = π^{2} - 4$

$cos π = - 1$ 、 $sin π = 0$ を使う。答えは $π^{2} - 4 \approx 5.87$ になる。

係数のパターン

$\int x^{n} e^{x} d x$ の答えは、 $e^{x}$ に多項式が掛かった形になる。係数は階乗から出る。

$n$	答えの多項式	最後の定数
$1$	$x - 1$	$- 1$
$2$	$x^{2} - 2 x + 2$	$+ 2$
$3$	$x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6$	$- 6$
$4$	$x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 24$	$+ 24$

定数項は $\pm n!$ である。符号は $n$ が偶数なら正、奇数なら負になる。

繰り返しの部分積分では、符号が 1 回ごとに入れかわる。 $x^{3}$ なら $+, -, +, -$ の順に並ぶ。

表で計算すると、この符号を機械的に付けられる。手で追うより間違えにくい。

参考文献

Integration by parts. Wikipedia（英語）.

Paul Dawkins. *Integration by Parts*. Paul's Online Notes, Lamar University.

Partielle Integration. Wikipedia（ドイツ語）.

$\int x^2 e^x dx$ に部分積分を当てても積分が残りますが、$x$ の次数は $1$ 下がっています。もう一度当てれば指数関数だけになる。$x^n$ なら $n$ 回で必ず片づきます。左の列を微分し続け、右の列を積分し続ける表を作ると、斜めに掛けて符号を交互に付けるだけで答えが出る。$x^2\sin x$ や $x^2\cos x$ も同じ手順です。定数項が $\pm n!$ になるパターンまで、計算例を 6 通り並べました。