対称な区間なら計算する前に答えが決まる？偶関数と奇関数の定積分

積分区間が $[- a, a]$ のように原点について対称なとき、計算を始める前にグラフの対称性を見る。奇関数なら答えは $0$ で、計算そのものが要らない^[1]。

$\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0 (f が奇関数), \int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x (f が偶関数)$

偶関数でも手間が半分になる。原点対称な区間が出てきたら、まず偶奇を確かめる価値がある。

偶関数と奇関数

$f (- x) = f (x)$ を満たす関数が偶関数、 $f (- x) = - f (x)$ を満たす関数が奇関数である。

偶関数のグラフは $y$ 軸について対称、奇関数のグラフは原点について対称になる。

$x$ の偶数乗だけでできた多項式は偶関数、奇数乗だけなら奇関数である。 $cos x$ は偶、 $sin x$ は奇になる。

奇関数の面積は打ち消し合う

奇関数では、原点の右側の面積と左側の面積が符号だけ違う。足すと $0$ になる。

$a$ をどう動かしても合計が $0$ から動かない。奇関数の対称区間での積分が、計算せずに決まる理由である。

例 1：多項式を偶奇で分ける

$\int_{- 1}^{1} (x^{3} + x^{2} + x + 1) d x$

$x^{3}$ と $x$ は奇関数なので消える。残るのは偶関数の部分だけ。

$= \int_{- 1}^{1} (x^{2} + 1) d x = 2 \int_{0}^{1} (x^{2} + 1) d x = 2 [\frac{x ^{3}}{3} + x]_{0}^{1} = 2 (\frac{1}{3} + 1) = \frac{8}{3}$

4 項のうち 2 項が消え、残りも半分の区間で済む。計算量が 4 分の 1 になった。

積の偶奇

偶と奇を掛けると、符号の規則が整数の偶奇と同じ形になる。

奇と奇を掛けると偶になる。 $x sin x$ が偶関数なのはこの規則からである。

例 2： $x sin x$

$\int_{- π}^{π} x sin x d x$

$x$ は奇、 $sin x$ も奇なので、積は偶関数である。半分にして 2 倍する。

$= 2 \int_{0}^{π} x sin x d x = 2 π$

部分積分の結果 $\int_{0}^{π} x sin x d x = π$ を使った。

例 3： $x cos x$

$\int_{- π}^{π} x cos x d x$

$x$ は奇、 $cos x$ は偶なので、積は奇関数である。

$= 0$

部分積分をせずに答えが出る。同じ $[- π, π]$ でも、 $sin$ と $cos$ で結果がまったく違う。

例 4： $sin x cos x$

$\int_{- π /2}^{π /2} sin x cos x d x = 0$

奇 × 偶なので奇関数。 $sin x cos x = \frac{sin 2 x}{2}$ と書き直しても、 $sin 2 x$ が奇関数だと分かる。

例 5：分数式

$\int_{- 2}^{2} \frac{x}{x ^{2} + 1} d x = 0$

分子が奇、分母が偶なので、商は奇関数である。 $lo g$ の計算をせずに $0$ と決まる。

一方 $\int_{- 2}^{2} \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} d x$ は偶関数なので、 $2 \int_{0}^{2}$ に直して計算する。

例 6：絶対値と偶関数

$\int_{- 1}^{1} ∣ x ∣ d x$

$∣ - x ∣ = ∣ x ∣$ なので偶関数である。 $x \geq 0$ では $∣ x ∣ = x$ になる。

$= 2 \int_{0}^{1} x d x = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

絶対値の場合分けが、対称性のおかげで片側だけで済む。

例 7： $sin^{2} x$

$\int_{- π}^{π} sin^{2} x d x = 2 \int_{0}^{π} sin^{2} x d x = 2 \cdot \frac{π}{2} = π$

$sin x$ は奇関数だが、2 乗すると偶関数になる。奇 × 奇 = 偶の規則どおり。

どんな関数も偶と奇に分けられる

対称でない関数でも、偶の部分と奇の部分の和に分けられる。

$f (x) = 偶 \frac{f ( x ) + f ( - x )}{2} + 奇 \frac{f ( x ) - f ( - x )}{2}$

$x$ を $- x$ に替えて確かめると、前が偶、後が奇であることが分かる^[2]。対称区間の積分では、奇の部分が消えて偶の部分だけが残る。

なお、偶でも奇でもある関数は $f (x) = 0$ だけである^[2]。両方を満たすと $f (x) = - f (x)$ になるためである。

例 8：偶奇分解で計算する

$\int_{- 1}^{1} e^{x} d x$

$e^{x}$ は偶でも奇でもない。偶の部分だけが残るので、次のように直せる。

$= 2 \int_{0}^{1} \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} d x = \int_{0}^{1} (e^{x} + e^{- x}) d x$

$= [e^{x} - e^{- x}]_{0}^{1} = e - \frac{1}{e}$

そのまま $[e^{x}]_{- 1}^{1} = e - e^{- 1}$ と計算しても同じ値になる。分解が正しいことの確認にもなる。

奇関数

対称区間で積分すると $0$ 。計算そのものが要らない

偶関数

半分の区間を計算して $2$ 倍。手間が半分になる

使う前に区間を確かめる

対称性が効くのは、区間が原点について対称なときだけである。 $[0, 1]$ や $[1, 3]$ では使えない。

$\int_{- 1}^{2} x^{3} d x$ のように片寄った区間では、奇関数でも $0$ にならない。実際に計算すると $\frac{15}{4}$ になる。

区間の中心が原点かどうか。ここを最初に見る。

参考文献

Even and odd functions. Wikipedia（英語）.

Gerade und ungerade Funktionen. Wikipedia（ドイツ語）.

区間が $[-a, a]$ のように原点対称なら、奇関数の積分は計算せずに $0$ です。偶関数なら半分を計算して $2$ 倍すれば済む。掛け算の偶奇は足し算の偶奇と同じ規則で、$x\sin x$ は奇 × 奇で偶、$x\cos x$ は奇 × 偶で奇になります。だから同じ $[-\pi, \pi]$ でも $\sin$ と $\cos$ で結果が変わる。どんな関数も偶の部分と奇の部分に分けられ、対称区間では奇の側が丸ごと消えます。