対称な区間なら計算する前に答えが決まる？偶関数と奇関数の定積分

積分区間が $[-a,a]$ のように原点について対称なとき、計算を始める前にグラフの対称性を見る。奇関数なら答えは $0$ で、計算そのものが要らない^[1]。

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0(f\text{ が奇関数}),{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx(f\text{ が偶関数})$$

偶関数でも手間が半分になる。原点対称な区間が出てきたら、まず偶奇を確かめる価値がある。

偶関数と奇関数

$f(-x)=f(x)$ を満たす関数が偶関数、$f(-x)=-f(x)$ を満たす関数が奇関数である。

偶関数のグラフは $y$ 軸について対称、奇関数のグラフは原点について対称になる。

$x$ の偶数乗だけでできた多項式は偶関数、奇数乗だけなら奇関数である。$\cos x$ は偶、$\sin x$ は奇になる。

奇関数の面積は打ち消し合う

奇関数では、原点の右側の面積と左側の面積が符号だけ違う。足すと $0$ になる。

$a$ をどう動かしても合計が $0$ から動かない。奇関数の対称区間での積分が、計算せずに決まる理由である。

例 1：多項式を偶奇で分ける

$${\int }_{-1}^1(x^3+x^2+x+1)dx$$

$x^3$ と $x$ は奇関数なので消える。残るのは偶関数の部分だけ。

$$\begin{array}{rl}& ={\int }_{-1}^1(x^2+1)dx=2{\int }_0^1(x^2+1)dx\\ & =2{\left[\frac{x^3}{3}+x\right]}_0^1=2\left(\frac{1}{3}+1\right)=\frac{8}{3}\end{array}$$

4 項のうち 2 項が消え、残りも半分の区間で済む。計算量が 4 分の 1 になった。

積の偶奇

偶と奇を掛けると、符号の規則が整数の偶奇と同じ形になる。

奇と奇を掛けると偶になる。$x\sin x$ が偶関数なのはこの規則からである。

例 2：$x\sin x$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin xdx$$

$x$ は奇、$\sin x$ も奇なので、積は偶関数である。半分にして 2 倍する。

$$=2{\int }_0^{\pi }x\sin xdx=2\pi$$

部分積分の結果 ${\int }_0^{\pi }x\sin xdx=\pi$ を使った。

例 3：$x\cos x$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }x\cos xdx$$

$x$ は奇、$\cos x$ は偶なので、積は奇関数である。

$$=0$$

部分積分をせずに答えが出る。同じ $[-\pi ,\pi ]$ でも、$\sin$ と $\cos$ で結果がまったく違う。

例 4：$\sin x\cos x$

$${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\sin x\cos xdx=0$$

奇 × 偶 なので奇関数。$\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}$ と書き直しても、$\sin 2x$ が奇関数だと分かる。

例 5：分数式

$${\int }_{-2}^2\frac{x}{x^2+1}dx=0$$

分子が奇、分母が偶なので、商は奇関数である。$\log$ の計算をせずに $0$ と決まる。

一方 ${\int }_{-2}^2\frac{x^2}{x^2+1}dx$ は偶関数なので、$2{\int }_0^2$ に直して計算する。

例 6：絶対値と偶関数

$${\int }_{-1}^1|x|dx$$

$|-x|=|x|$ なので偶関数である。$x\ge 0$ では $|x|=x$ になる。

$$=2{\int }_0^{1}xdx=2\cdot \frac{1}{2}=1$$

絶対値の場合分けが、対称性のおかげで片側だけで済む。

例 7：${\sin }^{2}x$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}xdx=2{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=2\cdot \frac{\pi }{2}=\pi$$

$\sin x$ は奇関数だが、2 乗すると偶関数になる。奇 × 奇 = 偶 の規則どおり。

どんな関数も偶と奇に分けられる

対称でない関数でも、偶の部分と奇の部分の和に分けられる。

$$f(x)=\underset{\text{偶}}{\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}}+\underset{\text{奇}}{\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}}$$

$x$ を $-x$ に替えて確かめると、前が偶、後が奇であることが分かる^[2]。対称区間の積分では、奇の部分が消えて偶の部分だけが残る。

なお、偶でも奇でもある関数は $f(x)=0$ だけである^[2]。両方を満たすと $f(x)=-f(x)$ になるためである。

例 8：偶奇分解で計算する

$${\int }_{-1}^1{e}^{x}dx$$

$e^x$ は偶でも奇でもない。偶の部分だけが残るので、次のように直せる。

$$=2{\int }_0^1\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx={\int }_0^1(e^x+e^{-x})dx$$

$$=[e^x-e^{-x}{]}_0^1=e-\frac{1}{e}$$

そのまま $[e^x{]}_{-1}^1=e-e^{-1}$ と計算しても同じ値になる。分解が正しいことの確認にもなる。

使う前に区間を確かめる

対称性が効くのは、区間が原点について対称なときだけである。$[0,1]$ や $[1,3]$ では使えない。

${\int }_{-1}^2{x}^{3}dx$ のように片寄った区間では、奇関数でも $0$ にならない。実際に計算すると $\frac{15}{4}$ になる。

区間の中心が原点かどうか。ここを最初に見る。

参考文献