「見えない 1」を書き足して解く log x の積分

$\log x$ の積分は、公式を探しても見つからない。微分の公式に $\log x$ になるものがないからである。

打つ手は 1 つ。$\log x=1\times \log x$ と見て、$1$ のほうを積分側に回す。掛けても値の変わらない $1$ を、部分積分の相手として使う^[1]。

$$\int \log xdx=x\log x-x+C$$

$\log x$ を微分すると $\frac{1}{x}$ になり、$x$ と打ち消し合って定数の積分に落ちる。この一手で片づく。

「1 を掛ける」

$f=\log x$、$g^{\prime }=1$ とする。$g=x$ である。

$$\begin{array}{rl}\int \log xdx& =\int 1\cdot \log xdx\\ & =x\log x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx\\ & =x\log x-\int 1dx=x\log x-x+C\end{array}$$

$x\cdot \frac{1}{x}=1$ になるところが要である。$\log$ の微分が分数を作り、$g$ の $x$ がそれを消す。

微分して確かめる。$(x\log x-x{)}^{\prime }=\log x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\log x$ となり、もとに戻る。

なぜ log を微分側に置くのか

$\log x$ を微分すると $\frac{1}{x}$ になる。対数が消えて、扱いやすい分数式に変わる。

逆に $\log x$ を積分側へ置くと、$g=x\log x-x$ が中に入ってさらに複雑になる。積分したい相手が積分の中で増えてしまう。

$\log$ が掛かっている積分では、いつでも $\log$ が微分側になる^[2]。迷う余地がない^[3]。

例 1：$x\log x$

$f=\log x$、$g^{\prime }=x$ とする。$g=\frac{x^2}{2}$ である。

$$\begin{array}{rl}\int x\log xdx& =\frac{x^2}{2}\log x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx\\ & =\frac{x^2}{2}\log x-\int \frac{x}{2}dx\\ & =\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}+C\end{array}$$

$g$ の $x^2$ と $\frac{1}{x}$ が約分して $x$ になる。1 回で終わる。

例 2：$x^n\log x$

同じ手順で一般の次数も出る。$g=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ とする。

$$\int x^n\log xdx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\log x-\frac{x^{n+1}}{(n+1{)}^2}+C$$

第 2 項の分母が 2 乗になる。$n=0$ を入れると $x\log x-x$ に戻り、$n=1$ で例 1 に一致する。

例 3：$\frac{\log x}{x^2}$

$g^{\prime }=x^{-2}$ なので $g=-\frac{1}{x}$ である。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{\log x}{x^2}dx& =-\frac{\log x}{x}+\int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}dx\\ & =-\frac{\log x}{x}-\frac{1}{x}+C\end{array}$$

符号が 2 回変わる。$g$ が負の形なので、引き算の前の符号に気をつけて進める。

例 4：$(\log x{)}^2$

$\log$ が 2 乗なので、部分積分を 2 回使う。1 回目は $f=(\log x{)}^2$、$g^{\prime }=1$ とする。

$$\begin{array}{rl}\int (\log x{)}^{2}dx& =x(\log x{)}^2-\int x\cdot 2\log x\cdot \frac{1}{x}dx\\ & =x(\log x{)}^2-2\int \log xdx\end{array}$$

残った積分は最初に求めたものである。代入して終わる。

$$\int (\log x{)}^{2}dx=x(\log x{)}^2-2x\log x+2x+C$$

$\log$ の指数が 1 ずつ下がる。多項式の次数が下がるのと同じ構造になっている。

例 5：中身が 1 次式

$$\int \log (2x)dx$$

対数の性質で分けると速い。$\log (2x)=\log 2+\log x$ である。

$$=x\log 2+x\log x-x+C=x\log (2x)-x+C$$

$\log 2$ は定数なので、そのまま $x$ が掛かる。まとめ直すと、もとの形に $x$ が付いただけになる。

例 6：$\log (x^2+1)$

$f=\log (x^2+1)$、$g^{\prime }=1$ とする。$f^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$ である。

$$\begin{array}{rl}\int \log (x^2+1)dx& =x\log (x^2+1)-\int \frac{2x^2}{x^2+1}dx\end{array}$$

残った積分は、分子を分母で割って処理する。$\frac{2x^2}{x^2+1}=2-\frac{2}{x^2+1}$ である。

$$=x\log (x^2+1)-2x+2\int \frac{dx}{x^2+1}$$

最後の積分は $x=\tan \theta$ の置換に回る。定積分ならここまでで値が出せる。

例 7：${\int }_1^e\log xdx$

原始関数に代入する。$\log e=1$、$\log 1=0$ である。

$$=[x\log x-x{]}_1^e=(e-e)-(0-1)=1$$

$e$ が打ち消し合って、答えはちょうど $1$ になる。

例 8：${\int }_1^{e}x\log xdx$

$$\begin{array}{rl}& ={\left[\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}\right]}_1^e\\ & =\left(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}\right)-\left(0-\frac{1}{4}\right)=\frac{e^2+1}{4}\end{array}$$

手順のまとめ

積分側はいつでも $\log$ 以外の因子になる。$\log$ しかなければ $1$ を書き足す。

参考文献