ピカールの定理：微分方程式の解の存在と一意性はリプシッツ条件で決まる

$\frac{dy}{dx}=3y^{2/3}$ を $y(0)=0$ のもとで解くと、$y\equiv 0$ も $y=x^3$ も答えになります。同じ出発点から $2$ 本。

原因は $f(x,y)=3y^{2/3}$ の $y=0$ での急さにあります。急さを抑える条件を足すと、解は $1$ 本に決まる^[1]。

初期値問題

次の形を初期値問題といいます。

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y),y(x_0)=y_0$$

微分方程式に、解のグラフが点 $(x_0,y_0)$ を通るという条件を足した形。

微分方程式だけなら、任意定数を含む解が無数にあります。初期条件は、そこから $1$ 本を選ぶ役をする。

$dy/dx=y$ の一般解は $y=C{e}^x$ です。$y(0)=1$ が $C=1$ を決め、$y=e^x$ に絞られる。

リプシッツ条件

$f(x,y)$ が $(x_0,y_0)$ の近くで連続で、さらに $y$ について次を満たすとします^[1]。

$$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|$$

$L$ は近傍で共通にとれる定数です。$y$ を動かしたときの $f$ の変化が、$y$ の変化の定数倍で抑えられる形になっている。

ピカールの定理

この条件のもとで、初期値問題の解は $x_0$ のある近傍にただ $1$ つ存在します^[1]。

言えるのは $2$ つです。解があること、そして $2$ 本目がないこと。

例 1：リプシッツ条件を確かめる

$f(x,y)=x+y$ から見ます。差をとると次のようになる。

$$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|y_1-y_2|$$

$L=1$ で、全平面で成り立つ。どの初期条件からも、解はただ $1$ 本。

例 2：局所でだけ成り立つ

$f(x,y)=y^2$ では $\partial f/\partial y=2y$ です。$y$ を有界な範囲に限れば有界で、$|y|\le b$ なら $|2y|\le 2b$。

$L=2b$ として近傍で成り立ちます。局所では解がただ $1$ 本に決まる。

全平面では $L$ をとれません。$y$ をいくらでも大きくできるため。

例 3：条件が破れる

$f(x,y)=3y^{2/3}$ では $\partial f/\partial y=2y^{-1/3}$ です。$y\to 0$ で発散する。

$y=0$ を含むどの近傍でも、$L$ を共通にとれません。リプシッツ条件は破れ、定理は使えない。

一意性が崩れる

冒頭の $2$ 本は、これで説明がつきます。さらに解を増やせる。

$c\ge 0$ を $1$ つ選び、$x\le c$ では $y=0$、$x>c$ では $y=(x-c{)}^3$ とつなぎます。この関数も解です。

$x=c$ で値も傾きも $0$ になり、なめらかにつながる。$c$ を動かせば解は無数にある。

原点でリプシッツ条件が破れる、そのただ $1$ 点が、これだけの非一意を生みました。

同じことは $f(x,y)=\sqrt{y}$ でも起こります。

$$\frac{dy}{dx}=\sqrt{y},y(0)=0$$

には $y\equiv 0$ と $y=x^2/4$ の $2$ 本があります。$y=x^2/4$ なら $dy/dx=x/2$、$\sqrt{y}=x/2$ で一致する。

$y=0$ で $\partial f/\partial y=1/(2\sqrt{y})$ が発散する。ここでも条件が破れている。

連続なだけなら存在は残る

リプシッツ条件が破れても、解が消えるとは限りません。

$f$ が連続でありさえすれば、初期値問題には解が少なくとも $1$ つあります^[2]。ペアノの定理です。

失われるのは一意性のほうだけ。$3y^{2/3}$ の例が、まさにその形になっています。

$2$ つの定理で役割が分かれます。ペアノが存在をいい、ピカールが存在と一意性の両方をいう^[2]。

ピカールの定理が当てられないことが、非一意を疑う唯一の合図になる場面もあります^[4]。

例 4：解が有限の x で発散する

リプシッツ条件を満たしていても、定理が約束するのは近傍での存在だけです。

$$\frac{dy}{dx}=y^2,y(0)=1$$

は変数分離で解けます。$dy/y^2=dx$ を積分して $-1/y=x+C$、初期条件から $C=-1$。

$$y=\frac{1}{1-x}$$

この解は $x=1$ で発散し、そこから先へ延ばせません。$f=y^2$ は各点の近くでリプシッツ条件を満たすのに、解のほうが有限の $x$ で止まる。

大域の存在をいうには、別の議論がいる。

リプシッツ条件が分ける

逐次近似法

証明と、解を作る手だてを兼ねるのが逐次近似法です^[3]。まず初期値問題を積分の形へ書き直します。

両辺を $x_0$ から $x$ まで積分すると、微分方程式と初期条件が $1$ つの積分方程式にまとまる。

$$y(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(t,y(t))dt$$

右辺へ近似解を入れ、左辺で次の近似を受けとる。初期近似は $y_0(x)=y_0$ という定数。

$$y_{n+1}(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(t,y_n(t))dt$$

リプシッツ条件のもとで、この列は真の解へ収束します^[1]。

例 5：逐次近似で指数関数が現れる

$dy/dx=y$、$y(0)=1$ で試します。積分方程式は $y(x)=1+{\int }_0^{x}y(t)dt$。

前の段を右辺に入れて積分するだけです。$1$ を積分して $x$、$1+t$ を積分して $x+x^2/2$ と進む。

$$\begin{array}{rl}{y}_0& =1\\ y_1& =1+x\\ y_2& =1+x+\frac{x^2}{2}\\ y_3& =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\end{array}$$

一般に $y_n={\sum }_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$ です。指数関数のテイラー展開の部分和になっている。

$$y_n⟶\sum _{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!}=e^x$$

各段が、答えの級数を $1$ 項ずつ書き足していく。

例 6：ほかの方程式で試す

$dy/dx=x+y$、$y(0)=0$ では、積分方程式が $y(x)={\int }_0^x(t+y(t))dt$ です。

$$\begin{array}{rl}{y}_0& =0\\ y_1& =\frac{x^2}{2}\\ y_2& =\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\\ y_3& =\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}\end{array}$$

これは $e^x-x-1$ の展開の部分和。真の解も $y=e^x-x-1$ です。

$dy/dx=2xy$、$y(0)=1$ も試します。積分方程式は $y(x)=1+{\int }_0^{x}2ty(t)dt$。

$$\begin{array}{rl}{y}_0& =1\\ y_1& =1+x^2\\ y_2& =1+x^2+\frac{x^4}{2}\\ y_3& =1+x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{6}\end{array}$$

${\sum }_k\frac{x^{2k}}{k!}=e^{x^2}$ の部分和になっています。変数分離で解いても $y=e^{x^2}$ で、$2$ つの道が同じ答えにたどり着く。

存在区間を見積もる

近傍の広さも見積もれます^[1]。$f$ が箱 $R=\{|x-x_0|\le a,|y-y_0|\le b\}$ の上で $|f|\le M$ と抑えられるとします。

$$|x-x_0|\le h,h=\min (a,\frac{b}{M})$$

この範囲では解が存在する。傾きが $M$ を超えないため、箱の上下の壁に着く前に進める幅が $b/M$ で止まる。

具体例で計算します。箱 $|x|\le 1$、$|y|\le 1$ の上で $dy/dx=x^2+y^2$、$y(0)=0$ を考える。

この箱では $|x^2+y^2|\le 2$ なので、$M=2$、$a=b=1$ です。

$$h=\min (1,\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$$

解は少なくとも $|x|\le 1/2$ で存在します。箱をとり替えれば $h$ も変わるため、$h$ を最も大きくする箱を探す問題が残る。

例のまとめ

実際に扱う式では

物理や工学に出てくる $f(x,y)$ は、多くが滑らかで $\partial f/\partial y$ も有界です。ピカールの定理の条件は自然に満たされる。

だから初期条件を $1$ つ決めれば解も $1$ 本に決まり、数値計算をそのまま進められます。

逐次近似法は、その数値解法の素朴な原型でもあります。オイラー法やルンゲ・クッタ法は、同じ積分方程式を別の刻み方でたどる方法。

$y^{2/3}$ のように滑らかでない点の近くでは、解が消えるのではなく一意性のほうが先に崩れます^[4]。

参考