チェバとメネラウスの「逆」から 3 直線が 1 点で交わる証明
3 本の直線が 1 点で交わることを示すには、ふつう交点を作って 3 本目が通ると言う必要があります。チェバの定理の逆を使うと、その手間が消えます。
辺の比を 3 つ計算して掛け、 になるかを見るだけ。図の中で線を追う作業が、数の計算に置きかわります。
同じ手口がメネラウスの定理でも使えます。こちらは 3 点が 1 直線に並ぶことを示します。
逆の主張
チェバの逆は、比の積が なら 3 本のチェビアンが 1 点で交わる、と述べます[1]。
この等式が成り立てば、AD と BE と CF は 1 点で交わります。
メネラウスの逆は、比の積が で、辺の内部にある点が偶数個なら、3 点が 1 直線に並ぶと述べます[2]。
順の定理と逆の定理は、証明の中で役割が分かれます。順は交点があると分かっている場面で使い、逆は交点があると示したい場面で使う。
証明の骨組み
逆の証明はどちらも同じ形です。まず 2 本の交点を作り、その点を通る 3 本目の足を と名づけます。
については順の定理が使えるので、 を含む積が になります。仮定からも を含む積が 。
2 つの式を割ると が残ります。同じ比で線分を分ける点は 1 つしかないので です[1]。
3 本目は交点を通っていた。示したかった共点性がこれで出ます。
例：3 本の垂線が集まる
各頂点から対辺へ下ろした垂線の足を D、E、F とします。直角三角形の相似から、切られる長さが出ます。
、 のように書けるので、比は です。
残る 2 つも同じ形になり、掛け合わせると 、、 と 3 つの余弦がそれぞれ分子と分母に 1 回ずつ現れます。
積は 。だから 3 本の垂線は 1 点で交わります。その点が垂心です[3]。
例：傍心も同じ道具で出る
角 A の内角の二等分線と、角 B と角 C の外角の二等分線を考えます。この 3 本も 1 点で交わります。
内角の二等分線は対辺を の比に内分し、外角の二等分線は対辺の延長を同じ形の比に外分します。
符号つきで積をとると になる。だから 3 本は 1 点で交わり、その点が傍心です[4]。
内角 3 本のときは内心、内角 1 本と外角 2 本のときは傍心。組み合わせを変えるだけで別の中心が出ます。
3 つの比がすべて内分。交点は三角形の内部にある
1 つが内分、2 つが外分。交点は三角形の外部にある
メネラウスの逆で共線を示す
3 点が 1 直線に並ぶことを示したいときは、メネラウスの逆を使います。
比を 3 つ計算して掛け、 になり、しかも辺の内部にある点が偶数個であることを確かめる。この 2 つがそろえば共線です[2]。
内部の点の個数を数え忘れると、積が でも共線にならない配置を見落とします。チェバの形も積が になるからです。
例：共線を計算で示す
三角形 ABC の辺 AB を に切る点を F、辺 AC の延長上に となる点を E、辺 BC を に切る点を D とします。
、、。3 つの積は です。
にならないので、この 3 点は 1 直線に並びません。 を にとりかえれば積が になり、共線が成り立ちます。
三角形 ABC で 、 です。AD、BE、CF が 1 点で交わるとき、 はいくつですか。
まとめ
逆の定理は、幾何の主張を計算に置きかえる道具です。共点も共線も、比の積が かどうかに帰着します。
置きかえたあとは図を見なくてよい。長さの情報だけが与えられた問題で、この性質が効いてきます。
重心、内心、垂心、傍心。教科書に出てくる中心のうち 4 つまでが、この 1 つの道具で片づきます。
参考文献
43×32=21 なので、FBAF=2 にすれば積が 1 になります。21 は逆数をとり忘れた値、83 は 3 つを掛け合わせた値です。