円に内接する四角形の条件（対角の和と外角が決め手）

四角形 ABCD が円に内接するかどうかは、角を 2 つ測るだけで決まります。向かい合う角の和が $180^{\circ }$ なら内接し、そうでなければ内接しません。

3 点を通る円は必ず 1 つ描けます。問題は 4 点目がその円に乗るかどうか。角がその判定をしてくれる。

判定できる形は 1 つではありません。使いやすいものを選びます。

判定に使える 3 つの形

どれか 1 つが言えれば、4 点は同一円周上にあります。

3 番目は円周角の定理の逆そのものです。1 番目と 2 番目は、円に内接する四角形の性質の逆にあたります^[1]。

もとをたどると、どれも中心角が円周角の 2 倍だという命題に行きつきます^[2,3]。

図の形に合わせて選びます。四角形が描かれていれば 1 番目か 2 番目、対角線が引かれていれば 3 番目が使いやすい。

なぜ逆が成り立つのか

3 点 A、B、C を通る円を描きます。3 点が一直線に並んでいなければ、この円はただ 1 つに決まる。

D がこの円の外にあると仮定します。線分 BD が円と交わる点を $D^{\prime }$ とすると、$\angle BAD$ と $\angle BC{D}^{\prime }$ の和は $180^{\circ }$ です。

ところが $\angle BCD$ は $\angle BC{D}^{\prime }$ より小さいので、$\angle BAD+\angle BCD$ は $180^{\circ }$ より小さくなります。仮定と合いません。

内側にあると仮定すると今度は $180^{\circ }$ より大きくなる。だから D は円周上にあります。

内と外で向きが分かれる

D が円の内側にあると $\angle A+\angle C>180^{\circ }$、外側にあると $\angle A+\angle C<180^{\circ }$ になります。

和の値そのものが、D の位置を教えてくれる。ちょうど $180^{\circ }$ のときだけ円周上です。

この向きを覚えておくと、判定に失敗したときも D がどちら側にあるかまで分かります。

例：角度から判定する

四角形 ABCD で $\angle A=78^{\circ }$、$\angle C=102^{\circ }$ とします。和は $180^{\circ }$ なので円に内接します。

$\angle A=78^{\circ }$、$\angle C=95^{\circ }$ なら和は $173^{\circ }$。$180^{\circ }$ に足りないので内接せず、D は円の外側にあります。

$\angle A=78^{\circ }$、$\angle C=110^{\circ }$ なら和は $188^{\circ }$ で、D は円の内側です。

例：垂心の図に円が 2 つ現れる

三角形 ABC の頂点 B と C から下ろした垂線の足を E、F とします。

$\angle BEC=\angle BFC=90^{\circ }$ で、E と F は線分 BC の同じ側にあります。だから 4 点 B、C、E、F は同一円周上。

さらに垂心を H とすると、$\angle AEH=\angle AFH=90^{\circ }$ なので、4 点 A、E、H、F も同一円周上にあります。こちらは AH が直径です。

1 つの図の中に、内接する四角形がいくつも隠れている。直角を見つけたら円を疑います。

例：問題文に円が出てこない場合

四角形 ABCD で $\angle ABD=40^{\circ }$、$\angle ACD=40^{\circ }$ とします。

B と C は線分 AD の同じ側にあるので、円周角の定理の逆から 4 点は同一円周上にあります。

円が見つかったら、ほかの角も一気に決まる。$\angle ADB$ と $\angle ACB$ が等しい、といった関係が次々に使えます。

問題文に円という言葉がなくても、等しい角が 2 つ並んでいたら円を描いてみます。

つまずきやすいところ

角を 2 つ測れば円の有無が決まる。図に描かれていない円を見つける手がかりになります。

出典