外心は 3 辺の垂直二等分線が集まる点で外接円の中心になる

3 辺の垂直二等分線は 1 点で交わります。その点から 3 頂点までの距離が等しいので、そこを中心にすると 3 頂点を通る円が描けます。

内心と違うのは、この点が三角形の外へ出ることがある点です。鈍角三角形では必ず外に出ます。

位置が動く理由は、角の大きさと結びついています。

垂直二等分線の上は 2 頂点から等距離

線分 BC の垂直二等分線を引きます。この直線上の点から B までと C までの距離は、いつでも等しくなります。

直角三角形を 2 つ作って見比べれば分かる。2 辺がそれぞれ等しいので合同です。

逆も成り立ちます。B と C から等距離にある点は、必ず垂直二等分線の上にある。

3 本が 1 点に集まる

辺 AB と辺 AC の垂直二等分線の交点を O とします。前者から O は A と B から等距離、後者から O は A と C から等距離です。

つなぐと O は B と C からも等距離になる。逆の性質から、O は辺 BC の垂直二等分線の上にもあります。

ユークリッドはこの手順で外接円を作図しています^[1]。2 辺を二等分して垂線を立て、交点を中心にとる。

内心のときとまったく同じ運びです。等距離という条件を 2 回使って、3 本目を呼び込みます。

位置は角の大きさで決まる

外心が三角形のどこにあるかは、いちばん大きい角で決まります^[1]。

三角形の内部にあれば、その角は鋭角。辺の上にあれば直角。外部にあれば鈍角になります。

ユークリッドはこの対応を第 4 巻 5 番の系として書きました。外心の位置を見れば角の種類が分かる、という形です。

例：直角三角形の外心は斜辺の中点

角 A が直角なら、斜辺 BC が外接円の直径になります。中心は BC の中点です。

理由は円周角の定理の逆から出ます。直径を見込む角は直角なので、直角を見込む弦は直径になる。

半径は $\frac{BC}{2}$。3 辺が $5$、$12$、$13$ なら外接円の半径は $6.5$ です。

斜辺の中点から 3 頂点までの距離が等しい、という言い方もできます。中線の長さが斜辺の半分になる、という定理と同じ内容です。

外接円の半径

正弦定理を使うと、外接円の半径 $R$ が辺と角から出ます。

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

面積を使う形もあります。$S=\frac{abc}{4R}$ なので、$R=\frac{abc}{4S}$ です。

3 辺だけが分かっているときは、こちらのほうが計算しやすい。面積はヘロンの公式で出せます。

例：3 辺から半径を出す

$a=13$、$b=14$、$c=15$ とします。$s=21$ なのでヘロンの公式から面積が出ます。

$$S=\sqrt{21\times 8\times 7\times 6}=\sqrt{7056}=84$$

$$R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\times 14\times 15}{336}=\frac{2730}{336}=8.125$$

同じ三角形の内接円の半径は $r=\frac{S}{s}=\frac{84}{21}=4$。外接円のほうがずっと大きくなります。

九点円との関係

外心は 3 つの中心を結ぶ 1 本の直線の上に乗ります。重心と垂心を通るオイラー線です^[2]。

さらに、辺の中点、垂線の足、垂心と各頂点の中点。この 9 点が 1 つの円の上に並びます^[3]。

九点円の半径は外接円の半径のちょうど半分。中心はオイラー線の中点にあります^[2]。

まちがえやすい点

3 頂点から等距離。この一言に外心の性質がすべて入っています。

出典