メネラウスの定理〜一直線に並んだ 3 点が辺の比を縛る

1 本の直線が三角形の 3 辺、または辺の延長を切ります。切り口から比を 3 つ拾って掛けると $1$ になります。

チェバの定理と同じ形の式です。違うのは、3 点が 1 直線に並んでいるか、3 直線が 1 点に集まっているか。

3 点のうち少なくとも 1 つは、必ず辺の外へ出ます。

主張の形

三角形 ABC を 1 本の直線が横切り、直線 BC、CA、AB との交点を D、E、F とします^[1]。

$\frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} \cdot \frac{A F}{F B} = 1$

文字の巡回はチェバとまったく同じです。 $B \to D \to C$ 、 $C \to E \to A$ 、 $A \to F \to B$ と一周する。

式が同じなのに結論が違う。図がどちらの形をしているかを先に見分けます。

チェバの形

3 本の直線が 1 点に集まる。3 つの交点はすべて辺の上

メネラウスの形

3 つの点が 1 直線に並ぶ。少なくとも 1 つは辺の延長の上

交点は辺の外へ出る

三角形の内部を通る直線は、周を 2 か所でしか横切れません。3 辺のうち 1 辺は、必ず延長で交わることになります。

三角形と交わらない位置に直線を置くと、3 点とも延長の上に出ます。この場合も定理は成り立つ。

符号つきで考える流儀では、右辺を $- 1$ にします^[2]。負になる比の個数が奇数だからです。

高校では長さを正の値として扱い、右辺を $1$ とします。どちらの流儀でも、比の値そのものは変わりません。

平行線を 1 本引いて示す

頂点 C を通り、横切る直線に平行な線を引きます。この線が辺 AB と交わる点を G とします。

三角形 AEF と三角形 ACG が相似になり、 $\frac{C E}{E A} = \frac{GF}{F A}$ が出ます。

三角形 DBF と三角形 CBG も相似で、 $\frac{B D}{D C} = \frac{B F}{F G}$ 。

2 つを掛け、さらに $\frac{A F}{F B}$ を掛けると $GF$ 、 $F A$ 、 $B F$ 、 $F G$ が打ち消し合って $1$ が残ります^[2]。

例：長さを求める

三角形 ABC で、辺 AB を $2 : 1$ に切る点を F、辺 AC を $3 : 1$ に切る点を E とします。直線 FE が BC の延長と交わる点を D とします。

$\frac{A F}{F B} = \frac{2}{1}$ 、 $\frac{C E}{E A} = \frac{1}{3}$ です。積を $1$ にするので $\frac{B D}{D C} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{1} = 1$ 。

$\frac{B D}{D C} = \frac{3}{2}$

D は BC の延長にあるので、これは外分の比です。 $B D - D C = B C$ から具体的な長さも出ます。

$B C = 10$ なら $3 k - 2 k = 10$ で $k = 10$ 。 $B D = 30$ 、 $D C = 20$ になります。

メネラウスで出た比は、外分の比になることがある点に気をつけます。

D が延長の上にあるなら、 $B D$ と $D C$ を足すのではなく引いて $B C$ にします。

覚え方は一筆書き

$A \to F \to B \to D \to C \to E \to A$ と、頂点と交点を交互にたどって一周します。

たどった順に、 $\frac{A F}{F B}$ 、 $\frac{B D}{D C}$ 、 $\frac{C E}{E A}$ と分数を並べる。掛ければ式が完成します。

出発点はどの頂点でもよく、向きは逆回りでも成り立ちます。逆回りにすると 3 つの分数がすべて逆数になり、積はやはり $1$ 。

逆も成り立つ

積が $1$ で、3 点のうち偶数個が辺の内部にあるなら、3 点は 1 直線に並びます^[2]。

証明の運びはチェバの逆と同じです。2 点を通る直線が 3 辺目を切る点を $D^{'}$ とし、順の定理から $D = D^{'}$ を出します。

3 点が一直線に並ぶことを示したいとき、長さの計算だけで済ませられる。図の見た目に頼らずに結論が出ます。

三角形 ABC で、辺 AB 上の点 F が $A F : F B = 3 : 2$ 、辺 AC 上の点 E が $A E : E C = 4 : 1$ です。直線 FE が直線 BC と交わる点を D とするとき、 $B D : D C$ はいくつですか。

$3 : 8$
$8 : 3$
$2 : 3$

__RESULT__

$\frac{A F}{F B} = \frac{3}{2}$ 、 $\frac{C E}{E A} = \frac{1}{4}$ なので、 $\frac{B D}{D C} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{2} = 1$ から $\frac{B D}{D C} = \frac{8}{3}$ です。 $3 : 8$ は逆数をとった値になります。

補足

メネラウスは 1 世紀の人で、この定理を証明として残しました。ただしユークリッドの時代にはすでに知られていたようです^[1]。

同じ関係は多角形にも広がります。 $n$ 角形のすべての辺を 1 本の直線が切るとき、似た形の積の等式が成り立つ^[1]。

チェバの定理とは互いに双対の関係にあり、片方からもう片方を導けます^[3]。

出典

Menelaus theorem. Encyclopedia of Mathematics.

Theorems of Ceva and Menelaus/04:_Elementary_Euclidean_Geometry/4.03:_Theorems_of_Ceva_and_Menelaus). Modern Geometry, D. Bishop, LibreTexts.

Ceva theorem. Encyclopedia of Mathematics.

1 本の直線が三角形の 3 辺を切ると、切り口から拾った比の積が $1$ になります。式の形はチェバの定理とまったく同じで、違うのは図のほう。3 直線が 1 点に集まるか、3 点が 1 直線に並ぶかで見分けます。三角形の内部を通る直線は周を 2 か所しか横切れないので、3 つ目の点は必ず辺の延長に出る。そこで出た比は外分の比になり、足すのではなく引いて $BC$ に戻します。C を通る平行線を 1 本引く証明と、頂点と交点を交互にふむ一筆書きの覚え方まで。