傍心って何者？外角の二等分線が交わる点に傍接円ができる

三角形の外側に、1 辺と残る 2 辺の延長に接する円が描けます。その中心が傍心です。

内接円が 1 つしかないのに対して、傍接円は 3 つあります。どの辺に接するかで 3 通りに分かれる。

作り方は内心とよく似ています。使う二等分線を入れかえるだけ。

内角 1 本と外角 2 本

辺 BC に接する傍接円の中心を $I_{A}$ と書きます。この点は、角 A の内角の二等分線と、角 B と角 C の外角の二等分線の交点です^[1]。

理由は内心のときと同じ運びで出ます。角 B の外角の二等分線上の点は、直線 AB と直線 BC から等距離。

角 C の外角の二等分線上の点は、直線 BC と直線 CA から等距離です。交点をとれば 3 直線すべてから等距離になります。

3 直線から等距離なので、そこを中心にすれば 3 直線に接する円が描ける。ただし接するのは辺 BC と、AB と CA の延長です。

傍接円の半径

内接円のときは $S = sr$ でした。傍接円では、面積の足し引きの向きが変わります。

$I_{A}$ から見ると、三角形 ABC は $△ A B I_{A} + △ A C I_{A} - △ B C I_{A}$ と書けます。BC の側だけが引き算になる。

$S = \frac{1}{2} c r_{A} + \frac{1}{2} b r_{A} - \frac{1}{2} a r_{A} = (s - a) r_{A}$

だから $r_{A} = \frac{S}{s - a}$ です。分母が $s$ から $s - a$ に変わっただけ。

$a$ が大きいほど分母が小さくなり、円は大きくなります。長い辺に接する傍接円ほど大きい。

内接円

$r = \frac{S}{s}$ 。3 辺すべてに内側から接する

傍接円

$r_{A} = \frac{S}{s - a}$ 。1 辺と 2 つの延長に外側から接する

例：3 辺が 3、4、5 のとき

$S = 6$ 、 $s = 6$ です。内接円の半径は $r = 1$ でした。

$a = 3$ に接する傍接円は $r_{A} = \frac{6}{6 - 3} = 2$ 。 $a = 4$ なら $\frac{6}{2} = 3$ 、 $a = 5$ なら $\frac{6}{1} = 6$ です。

いちばん長い辺、つまり斜辺に接する傍接円が最大で、半径 $6$ 。内接円の 6 倍の大きさになります。

4 つの半径には $\frac{1}{r} = \frac{1}{r _{A}} + \frac{1}{r _{B}} + \frac{1}{r _{C}}$ という関係があります。 $\frac{1}{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ で確かに成り立つ。

接点までの長さ

頂点 A から、辺 BC に接する傍接円への接線の長さを求めます。円の外の点からの接線は 2 本とも等しい。

$A B$ 側の接点までを $t$ とすると、 $A C$ 側も $t$ です。全体をたどると $2 t = A B + B C + C A$ になります。

$t = s$

頂点から傍接円の接点までの長さは、周の半分そのもの。すっきりした値が出ます^[1]。

canvas: 絵を作れませんでした

内接円の接点と対称に並ぶ

辺 BC の上には、内接円の接点と傍接円の接点が 2 つ並びます。この 2 点は、辺 BC の中点について対称です^[1]。

内接円の接点は B から $s - b$ の位置、傍接円の接点は B から $s - c$ の位置にあります。

2 つの距離を足すと $2 s - b - c = a$ 。ちょうど辺の長さになるので、中点をはさんで向かい合っていると分かる。

この対称性から、内接円の接点を結んだ 3 本の交点と、傍接円の接点を結んだ 3 本の交点が、対になる点として現れます^[1]。

内接円の接点と傍接円の接点は、辺の中点をはさんで向かい合います。

片方の位置が分かれば、もう片方は引き算だけで出る。長さを覚え直す必要がありません。

内心と 3 つの傍心

内心 I と 3 つの傍心 $I_{A}$ 、 $I_{B}$ 、 $I_{C}$ をまとめると、4 点は直交系をなします^[3]。

どの 3 点をとっても、残る 1 点がその三角形の垂心になる。垂心と 3 頂点の関係とまったく同じ形です。

たとえば三角形 $I_{A} I_{B} I_{C}$ の垂心が I になります。内心が主役から脇役へ移る見方です。

内角の二等分線と外角の二等分線が直交するという事実が、この構造を支えています^[2]。

canvas: 絵を作れませんでした

例：傍心から見た角

角 $B I_{A} C$ を求めます。三角形 $I_{A} B C$ の内角の和から出ます。

$I_{A}$ は角 B の外角の二等分線上にあるので、角 $I_{A} B C$ は $\frac{18 0 ^{\circ} - B}{2} = 9 0^{\circ} - \frac{B}{2}$ 。

角 $I_{A} C B$ も同じ形で $9 0^{\circ} - \frac{C}{2}$ です。足して $18 0^{\circ}$ から引きます。

$∠ B I_{A} C = \frac{B + C}{2} = 9 0^{\circ} - \frac{A}{2}$

内心のときの $9 0^{\circ} + \frac{A}{2}$ と足すと $18 0^{\circ}$ 。内心と傍心の角は補い合う関係にあります。

3 辺の長さが $6$ 、 $8$ 、 $10$ の三角形で、いちばん長い辺に接する傍接円の半径はいくつですか。

$4$
$12$
$2$

__RESULT__

$S = \frac{6 \times 8}{2} = 24$ 、 $s = 12$ です。 $a = 10$ なので $r_{A} = \frac{24}{12 - 10} = 12$ 。 $2$ は内接円の半径、 $4$ は $a = 6$ に接する傍接円の半径になります。

つまずきやすいところ

傍心を外角の二等分線 3 本の交点だと思う。3 本のうち 1 本は内角の二等分線です。

半径の分母を

s

にする。傍接円では

s - a

が分母になります。

傍接円が辺の延長にも接することを忘れる。接するのは 1 辺と 2 つの延長です。

傍心が 1 つだと思う。頂点の数だけあるので 3 つです。

内心の角の式をそのまま使う。傍心では

9 0^{\circ}

から半分を引きます。

内心の作り方で、二等分線を内角から外角へ入れかえる。それだけで三角形の外側にもう 3 つの中心が現れます。

参考

Incircle and Excircles. Cut the Knot, A. Bogomolny.

External Angle Bisectors. Cut the Knot, A. Bogomolny.

Orthocentre. Encyclopedia of Mathematics.

角 A の内角の二等分線と、角 B と角 C の外角の二等分線が 1 点に集まります。そこが傍心で、辺 BC と、AB と CA の延長に接する円の中心。内心の作り方で二等分線を入れかえただけなので、証明の運びも同じです。半径は $r_A = \frac{S}{s-a}$ で、分母が $s$ から $s-a$ に変わる。長い辺に接する傍接円ほど大きくなります。頂点から接点までの長さはちょうど周の半分。内接円の接点とは辺の中点をはさんで向かい合い、内心と 3 つの傍心は直交系をなします。