方べきの定理：どの直線で切っても 2 つの長さの積は同じ

円の外に点 P をとり、そこから直線を引いて円を切ります。P から 2 つの交点までの長さを掛けると、どの向きに引いても同じ値になります。

接線を引いたときは、接点までの長さを 2 乗すれば同じ値になります。上の図では $1 2^{2} = 144$ です。

3 つの形

点が円の内にあるか外にあるか、直線が円を切るか接するかで、式の見た目が変わります。

内で交わる 2 本の弦	$P A \times P B = P C \times P D$
外から引いた 2 本の割線	$P A \times P B = P C \times P D$
割線と接線	$P A \times P B = P T^{2}$

どれも「P から測った 2 つの長さの積」です。接線の場合は 2 つの交点が重なるので、同じ長さを 2 回掛けます。この 3 つをまとめて方べきの定理といいます。

内で交わるときは相似から

円の中で弦 $A B$ と弦 $C D$ が点 P で交わるとします。三角形 $P A C$ と三角形 $P D B$ を比べます。

$∠ A P C$ と $∠ D P B$ は対頂角なので等しくなります。 $∠ P A C$ と $∠ P D B$ は、どちらも弧 $B C$ を見込む円周角なので等しい。

2 角がそれぞれ等しいので、2 つの三角形は相似です。対応する辺の比を書くと次のようになります。

$\frac{P A}{P D} = \frac{P C}{P B}$

内側どうし、外側どうしを掛けると $P A \times P B = P C \times P D$ になります。

外から引くときも相似から

P が円の外にある場合、三角形 $P A C$ と三角形 $P D B$ には共通の角 $∠ A P C$ があります。対頂角のかわりに、この共通角を使います。

$A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $C$ は同じ円周上にあるので、 $∠ B A C$ と $∠ B D C$ を足すと $18 0^{\circ}$ になります。 $∠ P A C$ は $∠ B A C$ と合わせて $18 0^{\circ}$ になる角なので、 $∠ P D B$ と等しくなります。

割線と接線のときは、円周角のかわりに接弦定理を使います。 $∠ P T A$ と $∠ P B T$ が等しくなり、三角形 $P T A$ と三角形 $P B T$ が相似になります。

$\frac{P T}{P B} = \frac{P A}{P T}$

ここから $P T^{2} = P A \times P B$ が導けます。

積の値は点だけで決まる

P を決めると、そこから引ける直線は無数にありますが、積はどれも同じ値です。この値を P の方べきといいます。

中心までの距離を $d$ 、半径を $r$ とすると、外の点では $d^{2} - r^{2}$ になります。中心を通る直線で考えると、2 つの長さが $d - r$ と $d + r$ なので、積は $(d - r) (d + r) = d^{2} - r^{2}$ です。

内の点では $d < r$ なので、2 つの長さの積は $r^{2} - d^{2}$ になります。

外の点では、方べきは接線の長さの 2 乗にそのまま等しくなります。接点では半径と接線が直角に交わるので、 $P T^{2} = d^{2} - r^{2}$ は三平方の定理そのものです。

例：内で交わる弦

弦 $A B$ と弦 $C D$ が P で交わり、 $P A = 3$ 、 $P B = 8$ 、 $P C = 4$ とします。

$3 \times 8 = 4 \times P D$ なので $P D = 6$ です。弦 $C D$ の長さは $4 + 6 = 10$ になります。

積が $24$ と分かったので、円の半径が $7$ なら中心までの距離も決まります。 $r^{2} - d^{2} = 24$ から $d^{2} = 49 - 24 = 25$ で、 $d = 5$ です。

例：外から接線と割線を引く

円の外の点 P から接線を引き、接点を T とします。同じ P から割線を引いて、交点を A、B とします。

$P T = 6$ 、 $P A = 4$ なら、 $36 = 4 \times P B$ から $P B = 9$ です。弦 $A B$ の長さは $9 - 4 = 5$ になります。

外から引いたときの 2 つの長さは同じ向きに測るので、弦の長さは差で求めます。

内で交わるときは P をはさんで反対向きなので、弦の長さは和になります。

例：半径と距離から接線の長さ

半径 $5$ の円があり、中心から $13$ 離れた点を P とします。方べきは $1 3^{2} - 5^{2} = 144$ です。

接線の長さは $144 = 12$ 。記事のはじめの図で、 $8 \times 18$ も $9 \times 16$ も $144$ になっていたのは、この値が P だけで決まるからです。

円の外の点 P から接線を引くと、長さが $8$ でした。同じ P から割線を引いて円と交わる点を A、B とし、 $P A = 4$ とします。弦 $A B$ の長さはいくつですか。

$16$
$12$
$20$

__RESULT__

$P T^{2} = P A \times P B$ から $64 = 4 \times P B$ となり、 $P B = 16$ です。P が円の外にあるので $A B = P B - P A = 16 - 4 = 12$ になります。 $16$ は $P B$ そのもの、 $20$ は $P B + P A$ を計算した値です。

半径と中心までの距離が分かっていれば、方べきは $d^{2} - r^{2}$ で求められます。同じ値が、引いた直線によって 2 つの長さの積にも、接線の 2 乗にもなります。

円の外の点 P から直線を引いて円を切ると、P から 2 つの交点までの長さの積は、どの向きに引いても同じ値になります。半径 $5$ の円と中心から $13$ 離れた点 P なら、$8 \times 18$ も $9 \times 16$ も、接線の $12 \times 12$ も $144$。内で交わる 2 本の弦、外から引いた 2 本の割線、割線と接線の 3 つの形がありますが、証明はどれも相似な三角形からたどれる。積の値そのものは、中心までの距離 $d$ と半径 $r$ で $d^2 - r^2$ と書けて、外の点では接線の長さの 2 乗に等しくなります。