頂点から内接円の接点までの長さは 3 辺で決まる｜数学 A の図形

3 辺が $5$、$6$、$7$ の三角形なら、頂点から内接円の接点までの長さは $4$、$3$、$2$ です。周の半分から向かいの辺を引くだけで出ます。

角度も面積も要りません。3 辺の長さだけで、接点の位置が完全に決まります。

もとになるのは、接線の長さが等しいという性質ひとつです^[3]。

3 本の等式から解く

内接円が辺 AB、BC、CA に接する点を F、D、E とします。頂点 A から出る 2 本の接線は $AF$ と $AE$ で、長さが等しい^[1]。

その値を $x$ と置きます。同じように B からを $y$、C からを $z$ とすると、辺の長さが 2 つの和で書けます。

$$y+z=a,z+x=b,x+y=c$$

3 式を全部足すと $2(x+y+z)=a+b+c$。周の半分を $s$ と書けば $x+y+z=s$ です。

1 番目の式を引くと $x=s-a$ が出ます。同じ手順で $y=s-b$、$z=s-c$^[2]。

対応をまちがえない

$x=s-a$ の $a$ は、頂点 A の向かいにある辺 BC のことです。頂点のとなりの辺ではありません。

$a=5$、$b=6$、$c=7$ なら $s=9$ で、$x=4$、$y=3$、$z=2$。

確かめは足し算でできます。$y+z=3+2=5=a$、$z+x=2+4=6=b$、$x+y=4+3=7=c$。

いちばん長い辺の向かいの頂点から出る接線が、いちばん短くなる。この向きも覚えておくと検算に使えます。

ヘロンの公式に同じ値が現れる

三角形の面積をヘロンの公式で書くと、根号の中に $s-a$、$s-b$、$s-c$ が並びます。

$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

この 3 つは、いま求めた接線の長さそのもの。$S=\sqrt{sxyz}$ と書き直せます。

$5$、$6$、$7$ なら $S=\sqrt{9\times 4\times 3\times 2}=\sqrt{216}\approx 14.7$。接点の長さを出しておけば、面積も同じ材料から出ます。

内接円の半径も $r=\frac{S}{s}=\sqrt{\frac{xyz}{s}}$ と書けます。3 つの接線の長さが、円の大きさまで決めている。

例：直角三角形では半径が出る

角 C が直角の直角三角形を考えます。$c$ が斜辺です。

C から出る接線の長さは $z=s-c$。この 2 本と 2 本の半径が正方形を作ります。接線と半径が直交し、しかも 2 本の半径が等しいためです。

だから $r=z=s-c$。直角三角形では、内接円の半径がそのまま接線の長さになります。

$3$、$4$、$5$ なら $s=6$、$r=6-5=1$。$\frac{a+b-c}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$ と同じ値です。

傍接円の接点と向かい合う

辺 BC の上には、内接円の接点 D と、辺 BC に接する傍接円の接点 $D^{\prime }$ が並びます。

内接円の接点は B から $s-b$、傍接円の接点は B から $s-c$ の位置にあります^[1]。

2 つの距離を足すと $2s-b-c=a$。ちょうど辺の長さになるので、この 2 点は辺 BC の中点をはさんで対称です。

片方が分かればもう片方は引き算で出る。傍接円の接点をわざわざ計算し直す必要はありません。

接点を結ぶと 1 点に集まる

3 つの接点 D、E、F と、向かい合う頂点 A、B、C をそれぞれ結びます。この 3 本は 1 点で交わります。

チェバの定理の逆で確かめられます。$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}$ を接線の長さで書くと $\frac{y}{z}\cdot \frac{z}{x}\cdot \frac{x}{y}=1$。

積が $1$ なので 3 本は共点です。この点をジェルゴンヌ点と呼びます。

傍接円の接点で同じことをすると、また別の 1 点が出る。こちらはナーゲル点と呼ばれ、2 点は対をなします^[1]。

例：接点で切られた長さから 3 辺を出す

逆に、接点までの長さが $x=6$、$y=4$、$z=3$ と分かっているとします。

$a=y+z=7$、$b=z+x=9$、$c=x+y=10$。3 辺が一度に出ます。

$s=x+y+z=13$ なので、面積は $\sqrt{13\times 6\times 4\times 3}=\sqrt{936}\approx 30.6$。

接点の長さと 3 辺は、どちらからどちらへも行き来できる。同じ情報を別の形で書いているだけです。

検算のしかた

出した 3 つの値を 2 つずつ足して、もとの 3 辺に戻るかを見ます。$4+3=7$、$3+2=5$、$2+4=6$ のようにそろえば正しい。

もう 1 つは大小の向きです。いちばん長い辺の向かいの頂点から出る接線が、いちばん短くなります。

3 つの値を足すと $s$ になることも確かめられる。3 通りの検算が使えるので、ここでの計算ちがいは見つけやすい。

参考文献