共円を示す入口は 4 つあります。同じ側から見込む角が等しい、向かい合う角の和が $180^\circ$、交点で切りとられた長さの積が等しい、4 点から等距離の点がある。角度が並んでいれば角から、積の等式が出ていれば長さから、座標が与えられていれば中心から入る。垂心の図では直角が 2 つそろう組を探すと、直径のちがう円がいくつも立ち上がります。円は目的ではなく道具で、見つけたあとに等しい角や相似を取り出すのが本題。