4 点が同じ円周上にあると言えるのはどんなときか？共円条件をそろえる

4 点が同じ円周上にあることを示す道具は 4 つあります。角から入るもの、長さから入るもの、中心から入るもの。

どれを選ぶかは、問題が何を与えているかで決まります。角度が並んでいれば角から、長さの積が出ていれば長さから。

順に見ていきます。

4 つの入口

1 番と 2 番は角から、3 番は長さから、4 番は中心から入る道です。

問題に角度が書いてあれば 1 番か 2 番、長さの積が出ていれば 3 番、座標が与えられていれば 4 番が向きます。

角から入る

線分 BC の同じ側にある P と Q が $\angle BPC=\angle BQC$ を満たせば、4 点は同一円周上にあります。

反対側にあるときは条件が変わり、$\angle BPC+\angle BQC=180^{\circ }$ になります。円に内接する四角形の性質の逆です^[1]。

同じ側か反対側かを図で確かめてから使う。この確認を飛ばすと結論が逆になります。

長さから入る

2 直線が点 P で交わり、それぞれの直線上に 2 点ずつあるとします。$PA\times PB=PC\times PD$ が成り立てば、4 点 A、B、C、D は同一円周上にあります。

P が線分の内側にあるときと外側にあるときで、図の見た目が変わります。式の形は同じです。

これは方べきの定理の逆にあたります^[3]。長さだけで円の存在が言える点が便利なところ。

中心から入る

4 点から等距離にある点が見つかれば、それが円の中心です。

線分 AB の垂直二等分線と、線分 BC の垂直二等分線の交点をとります。この点は A、B、C から等距離です。

あとは D までの距離が同じかを確かめるだけ。座標が与えられている問題では、この道がいちばん素直に進みます。

例：どの入口を選ぶか

$\angle ABD=\angle ACD$ と書かれていれば 1 番。線分 AD を同じ側から見込んでいるので、そのまま使えます。

$\angle A+\angle C=180^{\circ }$ と出ていれば 2 番。四角形の形で与えられたときの定番です。

$PA\times PB=PC\times PD$ の形が出ていれば 3 番。相似から積の等式を導いた直後に使うことが多い。

座標が並んでいれば 4 番。ただし計算量が多くなるので、角度で片づくなら角度を選びます。

例：垂心の図に円がいくつも現れる

三角形 ABC の垂心を H、各頂点から下ろした垂線の足を D、E、F とします。

$\angle BDH=\angle BFH=90^{\circ }$ なので、4 点 B、D、H、F は同一円周上。直角を見込む弦は直径になるので、直径は BH です^[2]。

同じ理由で C、D、H、E も、A、E、H、F も同一円周上にあります。垂心のまわりに 3 つの円ができる。

さらに $\angle BEC=\angle BFC=90^{\circ }$ から B、C、E、F も同一円周上。こちらは直径が BC です。

例：円を見つけたあとにできること

4 点 B、C、E、F が同一円周上にあると分かったとします。ここから何が言えるか。

$\angle BFE$ と $\angle BCE$ は同じ弧を見込むので等しい。角度の等式が新しく 1 本手に入ります。

$\angle AFE=\angle ACB$ も出ます。円に内接する四角形の外角が向かい合う内角に等しいためです。

この等式から、三角形 AEF と三角形 ABC が相似だと分かる。共円を見つけることが、相似を見つけることにつながります。

例：座標で確かめる

$A(0,5)$、$B(-5,0)$、$C(5,0)$、$D(3,-4)$ の 4 点を考えます。

BC の垂直二等分線は $x=0$。AB の垂直二等分線は中点 $(-2.5,2.5)$ を通り傾きが $-1$ なので $y=-x$ です。交点は原点になります。

原点から各点までの距離を測ると $5$、$5$、$5$、$\sqrt{9+16}=5$。4 つとも等しいので同一円周上にあります。

D を $(3,-3)$ に変えると距離が $\sqrt{18}$ になり、円から外れる。座標があるときは、この判定がいちばん速い。

つまずきやすいところ

円は問題文に描かれているとは限りません。角や長さの等式から、隠れている円を立ち上げます。

参考文献