平行線が線分を同じ比で切る（三角形と比の定理、中点連結定理）
三角形 ABC の辺 AB 上に D、辺 AC 上に E をとり、DE が BC と平行だとします。このとき が成り立ちます。
平行線をどこへ動かしても比は変わらない。切られる長さは変わるのに、2 辺の切られ方だけがそろいます。
この事実が、線分の比を扱うほとんどの道具の土台になります。
三角形と比の定理
ユークリッドは第 6 巻の 2 番目の命題でこれを述べました。三角形の 1 辺に平行な直線は、残りの 2 辺を比例して切る[1]。
証明は面積で進みます。DE を共通の底辺とみると、三角形 BDE と三角形 CDE は同じ平行線のあいだにあるので面積が等しい。
同じ大きさの図形は、第 3 の図形に対して同じ比をもちます。三角形 ADE を第 3 の図形にとると、辺の比が面積の比へ移ります。
高さが同じ三角形どうしの面積比が底辺の比になる、という命題がここで効いています[2]。
逆も同じ命題に入っている
比が等しければ平行になる。ユークリッドは順と逆を 1 つの命題としてまとめています[1]。
から出発すると、面積の比が等しくなり、三角形 BDE と CDE の面積が等しいと分かる。
同じ底辺の上にある面積の等しい三角形は、平行線のあいだにあります。だから DE は BC と平行です。
平行を示したいときにこの逆を使う。長さを測って比を出せば、角度をひとつも測らずに平行が言えます。
例：長さから比を出す
、、 とします。DE が BC と平行なら はいくつか。
なので です。 になります。
比を の形で書き直せば 。 も同じ です。
辺の一部どうしで比べても、辺の全体と比べても、同じ値が出る。使いやすいほうを選びます。
。平行線が切りとった 2 つのかけらどうしを見る
。DE の長さもここから出る
が入るのは、部分と全体で比べたときだけです。 の形には が出てきません。
中点連結定理は 1 対 1 の場合
D と E を中点にとると になります。条件を満たすので DE と BC は平行です[1]。
さらに なので 。中点をつなぐ線分は、残る辺の半分の長さになります。
平行だという主張は切片定理の逆から、長さが半分だという主張は切片定理そのものから出ます[3]。
例：中点連結を 2 回使う
の三角形で、AB と AC の中点を M、N とすると です。
さらに AM と AN の中点をとって結ぶと、その線分は の半分で 。半分にする操作は何度でも続きます。
三角形の中に、長さが 、、 と縮む平行な線分が並ぶ。等比数列がそのまま図に現れます。
例：台形で使う
台形 ABCD で と が平行、辺 AB の中点を M、辺 DC の中点を N とします。
対角線 AC を引くと、三角形 ABC と三角形 ACD の 2 つに分かれる。それぞれで中点連結定理を使います。
AC の中点を P とすると 、 です。
台形の中点をつなぐ線分は、上底と下底の平均になる。三角形の結果を 2 回重ねただけです。
平行線が何本あっても同じ
平行な直線を 3 本以上引き、2 本の直線で横切ると、切りとられた線分の比はどちらの直線でも等しくなります。
三角形の場合を繰り返し当てるだけで示せる。頂点が無限に遠くへ行った三角形だと思ってもよい。
例：線分を 5 等分する作図
定規とコンパスで長さを測らずに 5 等分できます。線分 AB の A から、適当な向きに半直線を引く。
その半直線に、コンパスで同じ長さの目盛りを 5 つ刻みます。5 つ目の点を C とし、C と B を結ぶ。
残り 4 つの目盛りから CB に平行な直線を引くと、AB が 5 等分されます。平行線が比を保つからです。
同じ手順で任意の 等分ができる。目盛りの長さがいくつであっても結果は変わりません。
三角形 ABC で D は辺 AB 上、E は辺 AC 上にあり、DE と BC は平行です。、、 のとき はいくつですか。
補足
比が等しくても平行にならない場合があります。D が辺 AB 上、E が辺 AC の延長上にあるときです。
このときは を符号つきで読む必要が出てきます。高校の範囲では、D と E がどちらも辺の上にあるかを先に確かめます。
図がなく長さだけ与えられた問題では、この確認が抜けやすい。図を描いてから比を当てます。
参考文献
AD:AB=4:10=2:5 なので DE:BC=2:5 です。DE=25×52=10。15 は DB:AB を使った値、16.7 は AD:DB を DE:BC に当ててしまった値です。