円周角の定理の「逆」で見えてくる 4 点が同一円周上にある条件

同じ弧を見込む円周角は、どこから見ても同じ大きさになります。中心角のちょうど半分です。

逆に、線分 BC を同じ側から同じ角度で見込む点は、すべて 1 つの円周上に並びます。この逆が、4 点が同一円周上にあることを示す道具になります。

まず順の主張から確かめます。

中心角は円周角の 2 倍

ユークリッドは第 3 巻の 20 番目でこう述べています。同じ弧を底辺とするとき、中心の角は円周の角の 2 倍である^[1]。

証明は二等辺三角形を 2 つ使います。P から中心 O を通る直線を引き、円周との交点を F とする。

$OP=OB$ なので三角形 OPB は二等辺三角形。外角 BOF は 2 つの底角の和なので、角 OPB の 2 倍になります。

同じことが角 FOC についても言えるので、足し合わせると中心角 BOC が円周角 BPC の 2 倍になる^[1]。

同じ弧の円周角は等しい

中心角は 1 つに決まっています。円周角がその半分なら、円周角も 1 つに決まる。

だから同じ弧を見込む円周角はどれも等しくなります^[2]。P を弧の上でどこへ動かしても角度が変わらないのは、このためです。

弧が半円のときは中心角が $180^{\circ }$ なので、円周角は $90^{\circ }$。直径を見込む角は直角になります^[3]。

逆が成り立つ

線分 BC の同じ側にある 2 点 P、Q について $\angle BPC=\angle BQC$ が成り立つとします。このとき 4 点 B、C、P、Q は同一円周上にあります。

示し方は背理法です。3 点 B、C、P を通る円を描く。Q がこの円の外にあると仮定します。

線分 BQ が円と交わる点を $Q^{\prime }$ とすると、$\angle B{Q}^{\prime }C$ は $\angle BQC$ より大きくなる。外角のほうが内対角より大きいためです。

ところが $\angle B{Q}^{\prime }C=\angle BPC=\angle BQC$ なので矛盾します。内側にあると仮定しても同じように矛盾するので、Q は円周上にあります。

例：4 点が同一円周上にあると示す

四角形 ABCD で、対角線の交点を見ずに $\angle BAC=\angle BDC$ が言えたとします。

A と D は線分 BC の同じ側にあるので、逆から 4 点が同一円周上にあると分かります。

角度を 2 つ測るだけで、円が隠れていることを見つけられる。図の中に円が描かれていなくても使えます。

例：直角が 2 つあれば円が見える

四角形 ABCD で $\angle BAC=90^{\circ }$、$\angle BDC=90^{\circ }$ とします。

同じ線分 BC を同じ側から直角で見込んでいるので、4 点は同一円周上にあります。円の直径は BC です。

直角三角形を 2 つ貼り合わせた図形には、いつも円が隠れている。垂心の問題でこの見方が効きます。

反対側なら足して 180 度

P と Q が線分 BC の反対側にあるとします。このときは $\angle BPC+\angle BQC=180^{\circ }$ が条件になります。

理由は中心角から出ます。P 側の弧と Q 側の弧を合わせると円全体になるので、中心角の和は $360^{\circ }$。

円周角はその半分ずつなので、和は $180^{\circ }$。これが円に内接する四角形の対角の和が $180^{\circ }$ になる理由です^[2]。

同じ側なら等しい、反対側なら補い合う。どちらの形かを図で確かめてから使います。

例：角度を求める

円周上に 4 点 A、B、C、D がこの順に並んでいます。$\angle BAC=35^{\circ }$ のとき $\angle BDC$ を求めます。

A と D はどちらも線分 BC の同じ側、つまり弧 BC を含まない側にあります。だから $\angle BDC=35^{\circ }$。

同じ図で $\angle ABD=48^{\circ }$ なら、$\angle ACD$ も $48^{\circ }$ です。弧 AD を見込む角が等しくなります。

弧と角の対応を先に決めてから読む。図が入り組んでいるほど、この手順が効いてきます。

つまずきやすいところ

角が等しいところに円が隠れている。この見方ができると、図の中に描かれていない円が見えてきます。

参考文献