三角形の辺と角の大小関係：長い辺の向かいの角のほうが大きい

三角形の 3 辺が $5$、$7$、$9$ なら、いちばん大きい角は長さ $9$ の辺の向かいにあります。角度を計算しなくても、辺の長さを並べれば角の大小が決まります。

辺の順と角の順がそろう

向かい合う辺と角には同じ文字を使います。$\angle A$ の向かいの辺が $a$、$\angle B$ の向かいが $b$、$\angle C$ の向かいが $c$ です。

$a<b<c$ なら $\angle A<\angle B<\angle C$ です。角の大小が先に分かっているときは、辺の順も同じに並びます。

長い辺の向かいの角のほうが大きい

$AB<AC$ のとき $\angle B>\angle C$ になることを示します。

長いほうの辺 $AC$ の上に $AD=AB$ となる点 $D$ をとります。$AB$ より $AC$ のほうが長いので、$D$ は $A$ と $C$ のあいだに来ます。

三角形 $ABD$ は $AB=AD$ の二等辺三角形なので、$\angle ABD=\angle ADB$ です。

$\angle ADB$ は三角形 $BDC$ の外角です。外角は隣り合わない内角より大きいので、$\angle ADB>\angle C$ になります。

$D$ は辺 $AC$ 上にあるので、$\angle ABC$ は $\angle ABD$ より大きい。まとめると $\angle ABC>\angle ABD=\angle ADB>\angle C$ で、$\angle B>\angle C$ が示せました。

角の順から辺の順へ

次は $\angle B>\angle C$ が分かっているとして、$AC>AB$ を示します。$AC$ と $AB$ の長さの関係は 3 通りしかありません。

$AC=AB$ なら二等辺三角形なので $\angle B=\angle C$ となり、仮定に合いません。

$AC<AB$ なら、いま示したことを短いほうの辺にあてはめて $\angle C>\angle B$ となり、これも仮定に合いません。

残るのは $AC>AB$ です。

例：3 辺が 5、7、9 の三角形

$a=5$、$b=7$、$c=9$ とすると、角の大小も $\angle A<\angle B<\angle C$ の順になります。

余弦定理で確かめられます。

$$\begin{array}{rl}\cos A& =\frac{7^2+9^2-5^2}{2\cdot 7\cdot 9}=\frac{105}{126}=\frac{5}{6}\\ \cos B& =\frac{5^2+9^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 9}=\frac{57}{90}=\frac{19}{30}\\ \cos C& =\frac{5^2+7^2-9^2}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{-7}{70}=-\frac{1}{10}\end{array}$$

$0^{\circ }$ から $180^{\circ }$ のあいだでは、角が大きいほど $\cos$ の値は小さくなります。$\frac{5}{6}>\frac{19}{30}>-\frac{1}{10}$ なので、角の順は $\angle A<\angle B<\angle C$ です。

$\cos C$ だけが負なので、角 $C$ は鈍角です。鈍角が 2 つあると和が $180^{\circ }$ を超えてしまうため、鈍角になれるのはいちばん長い辺の向かいの角だけになります。

例：2 つの角から辺の順を決める

$\angle A=40^{\circ }$、$\angle B=60^{\circ }$ なら $\angle C=80^{\circ }$ です。

角の順が $\angle A<\angle B<\angle C$ なので、辺の順も $a<b<c$ になります。いちばん短い辺は $BC$、いちばん長い辺は $AB$ です。

長さそのものは分かりませんが、順番だけなら角の大小から決まります。

2 辺が等しいとき

$AB=AC$ なら $\angle B=\angle C$ で、二等辺三角形の底角が等しいという性質になります。

3 辺が等しければ 3 つの角も等しく、正三角形の角はどれも $60^{\circ }$。辺に大小がなければ、角にも大小はつきません。

直角三角形の斜辺

直角三角形では、直角でない 2 つの角を足すと $90^{\circ }$ になります。どちらも $90^{\circ }$ より小さいので、いちばん大きい角は直角です。

その向かいにある斜辺が、いちばん長い辺になります。三平方の定理を使わなくても、辺と角の対応だけで言えます。

2 辺の和はもう 1 辺より長い

$B$ から $C$ へ行くとき $A$ を通れば遠回りになります。式で書けば $AB+AC>BC$ です。

これも辺と角の対応から示せます。$BA$ を $A$ の側へ延ばし、$AD=AC$ となる点 $D$ をとると $BD=BA+AC$ になります。

三角形 $ACD$ は $AD=AC$ の二等辺三角形なので $\angle ADC=\angle ACD$ です。$\angle BCD$ は $\angle ACD$ に $\angle BCA$ を足した角なので、$\angle BCD>\angle BDC$ になります。

大きい角の向かいの辺が長いので、三角形 $BCD$ では $BD>BC$。$BD=BA+AC$ だから $BA+AC>BC$ です。

3 辺の長さから角度そのものを求めるには余弦定理が必要です。大小を比べるだけなら、辺を長い順に並べれば足ります。