三角形の面積比：底辺の比と高さの比で求める

三角形 ABC の辺 BC 上に点 D をとり、$BD:DC=2:3$ とします。三角形 ABD と三角形 ADC は頂点 A からの高さが共通なので、面積の比も $2:3$ になる。

2 つの三角形で高さ、底辺、角のどれかが共通なら、面積そのものを計算しなくても比が求められます。

高さが同じなら底辺の比

同じ高さをもつ三角形どうしは、面積の比が底辺の比に等しくなります。底辺を $a$、$b$、共通の高さを $h$ とすると次のとおりです。

$$\frac{1}{2}ah:\frac{1}{2}bh=a:b$$

底辺が同じ直線の上に並び、頂点を共有する三角形がこの場合にあたります。

例：中線は面積を二等分する

頂点 A から辺 BC の中点 M へ引いた線分を中線と呼びます。三角形 ABM と三角形 ACM は底辺 $BM$ と $MC$ が等しく、頂点 A からの高さも共通なので、面積が等しくなります^[2]。

3 本の中線を引くと、もとの三角形は面積の等しい 6 つの三角形に分かれる。

底辺が同じなら高さの比

底辺を共有する三角形どうしでは、面積の比が高さの比になります。共通の底辺を $a$、高さを $h$、$k$ とすると $\frac{1}{2}ah:\frac{1}{2}ak=h:k$ です。

共有する辺が図の中で斜めに置かれていても、その辺を底辺とみなせます。どの辺を底辺にとるかは自由です。

角が共通なら 2 辺の積の比

三角形 ABC の辺 AB 上に D、辺 AC 上に E をとります。三角形 ADE と三角形 ABC は角 A を共有します。

このとき面積の比は角をはさむ 2 辺の積の比になります。

$$\frac{△ADE}{△ABC}=\frac{AD\times AE}{AB\times AC}$$

三角形の面積は 2 辺とそのあいだの角で $\frac{1}{2}bc\sin A$ と表せます。2 つの三角形を同じ形で書きます。

$$\frac{△ADE}{△ABC}=\frac{\frac{1}{2}AD\cdot AE\sin A}{\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin A}$$

共通の $\frac{1}{2}$ と $\sin A$ が分母と分子で打ち消し合い、2 辺の積の比が残る。

高さも底辺も共通でない三角形どうしでも、角が 1 つ共通なら面積の比が求められます。

例：2 辺上の点で切りとった三角形

$AD:DB=3:2$、$AE:EC=1:1$ として、三角形 ADE の面積が三角形 ABC の何倍かを求めます。

$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$、$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$ なので、三角形 ADE の面積は三角形 ABC の $\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$ 倍です。残る四角形 DBCE は $\frac{7}{10}$ 倍になる。

例：内部の点で 6 つに割る

三角形 ABC の内部に点 P をとり、A、B、C と結びます。三角形は 3 つに分かれます。

さらに AP、BP、CP を延ばして対辺と交わらせると、全部で 6 つの小さな三角形ができる。

三角形 ABC の同じ辺の上に底辺をもつ 2 つは頂点 P を共有し、底辺が一直線に並びます。この 2 つの面積の比は底辺の比になる。

この 6 つの三角形の面積を比べると、チェバの定理が導けます。

例：平行線で挟まれた三角形

台形 ABCD で AD と BC が平行、対角線の交点を O とします。三角形 OAB と三角形 OCD の面積は等しくなります。

三角形 ABC と三角形 DBC は底辺 BC を共有し、頂点 A と D は BC に平行な直線の上にあります。高さも等しいので、2 つの面積は等しい^[1]。

両方から三角形 OBC を引くと、三角形 OAB と三角形 OCD が残ります。等しい面積から同じ面積を引いた残りなので、この 2 つも等しくなる。

参考文献