高さが共通なら面積比は底辺比、底辺が共通なら高さ比、角が共通ならはさむ 2 辺の積の比になります。$\frac{1}{2} bc \sin A$ で書くと、共通する部分が約分で消えて残りだけが比に効く。中線が面積を二等分するのも、台形の対角線が作る 2 つの三角形が等しいのも同じ理由から出ます。角を共有する形では $AD : DB$ ではなく $AD : AB$ に直してから掛ける。内部の点で 6 つに割った図は、チェバの定理を面積から導く下地になります。