三角形の内心は内接円の中心そのもの！角の二等分線が集まる場所

3 つの角を二等分する直線は 1 点で交わります。その点から 3 辺までの距離が等しいので、そこを中心にすると 3 辺に接する円が描けます。

内心と内接円の中心は同じ点です。別々に覚える必要がありません。

理由は二等分線の性質ひとつで説明できます。

二等分線の上は 2 辺から等距離

角の二等分線上の点から、その角をつくる 2 辺へ垂線を下ろします。2 本の垂線の長さは必ず等しくなります。

直角三角形を 2 つ作って見比べると分かる。斜辺が共通で、二等分された角も等しいので、2 つは合同です。

逆も成り立ちます。2 辺から等距離にある点は、必ず二等分線の上にある。

だから 3 本が 1 点に集まる

角 B と角 C の二等分線の交点を I とします。角 B の側から見ると、I は辺 AB と辺 BC から等距離です。

角 C の側から見ると、I は辺 BC と辺 CA から等距離。2 つを合わせると、I は 3 辺すべてから等距離になります。

辺 AB と辺 CA から等距離なので、逆の性質から I は角 A の二等分線の上にもある。3 本目も通りました^[2]。

ユークリッドはこの手順をそのまま内接円の作図に使っています^[1]。2 つの角を二等分し、交点から 3 辺へ垂線を下ろす。

内接円の半径

I から 3 辺までの距離を $r$ とすると、これが内接円の半径です。面積を使うと $r$ が出ます。

三角形を I から見て 3 つに分けます。それぞれの底辺は $a$、$b$、$c$ で、高さはどれも $r$。

$$S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{a+b+c}{2}r$$

$s=\frac{a+b+c}{2}$ と置けば $S=sr$、つまり $r=\frac{S}{s}$ になります。

例：3 辺が 3、4、5 のとき

直角三角形なので面積は $\frac{3\times 4}{2}=6$ です。$s=\frac{3+4+5}{2}=6$。

$$r=\frac{S}{s}=\frac{6}{6}=1$$

半径 $1$ の円が 3 辺に接します。直角三角形では $r=\frac{a+b-c}{2}$ という別の形も使えて、$\frac{3+4-5}{2}=1$ で一致します。

例：内心の角は 90 度を超える

角 BIC の大きさを求めます。三角形 IBC の内角の和から出ます。

角 IBC は角 B の半分、角 ICB は角 C の半分。だから角 BIC は $180^{\circ }$ から両方を引いた値です。

$$\angle BIC=180^{\circ }-\frac{B+C}{2}=180^{\circ }-\frac{180^{\circ }-A}{2}=90^{\circ }+\frac{A}{2}$$

角 A が $60^{\circ }$ なら角 BIC は $120^{\circ }$。角 A がどんな値でも、内心から見た角は必ず直角より大きくなります。

接点までの長さ

頂点から内接円の接点までの長さは、同じ頂点から出る 2 本が等しくなります。円の外の点からの接線の長さが等しいからです。

その値を $x$、$y$、$z$ と置くと、$y+z=a$、$z+x=b$、$x+y=c$ です。3 式を足して 2 で割ると $x+y+z=s$。

$$x=s-a,y=s-b,z=s-c$$

頂点 A からの接点までは $s-a$ になります^[3]。3 辺の長さだけで、接点の位置が決まる。

内心は必ず内部にある

3 辺から等距離で、しかも辺の内側に落ちる点は三角形の中にしかありません。だから内心は必ず内部です。

外心や垂心は三角形の外へ出ることがあります。内心と重心の 2 つだけが、いつでも内部にとどまる。

鈍角三角形でも直角三角形でも、内接円はきちんと 3 辺に接します。

検算のしかた

出した $r$ を使って $S=sr$ に戻し、面積が一致するかを見ます。$30=15\times 2$ のようにそろえば正しい。

もう 1 つは大きさの感覚です。内接円は三角形にすっぽり収まるので、$r$ は最短の高さの半分より小さくなります。

$r$ が辺の長さより大きくなったら、どこかで計算をとりちがえています。

参考文献