内分点と外分点がどこにあるかを比の読み方から決める

線分 AB を $2:1$ に内分する点は、A から数えて全体の $\frac{2}{3}$ のところにあります。外分する点は B を通り越した先。

同じ $2:1$ でも置かれる場所がまるで違う。差は比をどちら向きに読むかだけです。

向きさえつかめば、図を描かなくても位置が言えます。

内分点は線分の内側から出ない

線分 AB 上の点 P が $AP:PB=m:n$ を満たすとき、P を $m:n$ の内分点と呼びます。

$m$ も $n$ も正なので、P は A と B のあいだにとどまる。$m$ が大きいほど B 寄り、$n$ が大きいほど A 寄りへ動きます。

線分を与えられた比に切る操作は、平行線が三角形の 2 辺を比例して切るという命題まで遡ります^[1]。

A からの距離は、全体を $m+n$ 等分したうちの $m$ 個ぶんです。

$$AP=\frac{m}{m+n}AB$$

$1:1$ なら中点。$2:1$ なら A から $\frac{2}{3}$、$1:3$ なら A から $\frac{1}{4}$ の位置になります。

例：AB を 12 として内分する

$2:1$ の内分点なら $AP=12\times \frac{2}{3}=8$ です。

$3:5$ にすると $AP=12\times \frac{3}{8}=4.5$。$5:3$ に入れかえれば $AP=7.5$ になります。

比の 2 つの数を入れかえた点は、中点について対称な位置へ移る。

外分点は線分の外に出る

直線 AB 上の点 Q が $AQ:QB=m:n$ を満たし、しかも線分の外にあるとき、Q を $m:n$ の外分点と呼びます。

外にあると、A から Q へ向かう向きと B から Q へ向かう向きが同じになります。片方の向きが裏返っているので、符号つきで見れば比は $m:(-n)$ です。

$$AQ=\frac{m}{m-n}AB$$

分母が $m+n$ から $m-n$ に変わっただけ。この符号の入れかわりが、点を線分の外へ押し出します。

どちら側の外へ出るか

$m>n$ のとき $m-n$ は正で、$AQ$ は $AB$ より長くなります。Q は B の外側です。

$m<n$ なら $m-n$ は負。$AQ$ も負になり、Q は A の外側、つまり B と反対向きへ出ます。

大きいほうの数が指している端の側へ飛び出す。そう読むと迷いません。

外分点が線分の延長のどこに落ちるかは、外角の二等分線を引いたときにそのまま現れます^[2]。

例：AB を 12 として外分する

$3:1$ の外分点は $AQ=12\times \frac{3}{2}=18$ で、B を $6$ だけ越えた点です。

$1:3$ なら $AQ=12\times \frac{1}{-2}=-6$。A から B と反対向きに $6$ 進んだ位置になります。

$5:4$ では $AQ=12\times 5=60$ まで飛ぶ。比が $1:1$ に近いほど遠くへ離れていきます。

1 対 1 の外分点は存在しない

$m=n$ になると分母が $0$ です。$AQ$ が決まらないので、$1:1$ の外分点はありません。

図で探すと、A からも B からも等しい距離にある線分外の点を求めていることになる。直線上にそんな点はない。

内分点と外分点は組で現れる

同じ比 $m:n$ の内分点 P と外分点 Q をとると、A、P、B、Q の 4 点は調和点列という並びになります。

角の二等分線がちょうどこの並びを作る。内角の二等分線が対辺を切る点と、外角の二等分線が対辺の延長を切る点が、同じ比の内分点と外分点です^[3]。

例：数直線で確かめる

数直線上に $A=2$、$B=8$ をとります。$2:1$ の内分点は次のように出ます。

$$\frac{1\cdot 2+2\cdot 8}{2+1}=6$$

外分点のほうは $n$ の符号を裏返すだけです。

$$\frac{(-1)\cdot 2+2\cdot 8}{2-1}=14$$

内分の式と外分の式は別物ではない。$n$ を $-n$ にとりかえた同じ式です。

つまずきやすいところ

比を符号つきで読む。この一手で、内分と外分は 1 つの式にまとまります。

参考