重心と外心が同じ点にあると、中線がそのまま垂直二等分線になり、左右の三角形が合同になって $AB = AC$ が出ます。3 つの頂点で同じことが言えるので 3 辺すべてが等しくなる。どの 2 つを選んでも結論は変わりません。二等辺三角形では 4 つの中心が対称軸に並ぶだけで、まだ重ならない。$OI^2 = R^2 - 2Rr$ から $R \geq 2r$ が出て、等号が成り立つのは正三角形のときだけです。$\frac{R}{2r}$ は形のいびつさを測るものさしになる。正三角形ではオイラー線が定まらなくなります。