接弦定理 - 接線と弦のはさむ角がそのまま円周角に重なる

接点 A で円に触れる直線と、A から引いた弦 AB がはさむ角。この角は、弦 AB を反対側から見込む円周角と等しくなります。

接線は円と 1 点しか共有しないのに、円周上の角と同じ値になる。円周角の定理が接線まで届いた形です。

ユークリッドの述べ方から見ていきます。

主張の形

第 3 巻の 32 番目はこう述べます。直線が円に接し、接点から円を横切る弦が引かれるとき、弦が接線と作る角は、反対側の弓形の中の角に等しい^[1]。

弓形とは、弦と弧で囲まれた部分のこと。弦 AB は円を 2 つの弓形に分けます。

接線と弦がはさむ角は 2 つあり、それぞれ反対側の弓形の角と等しくなる。鋭角のほうは大きい弓形、鈍角のほうは小さい弓形に対応します。

直径を引いて示す

接点 A を通る直径 AD を引きます。接線と半径は直交するので $\angle DAT=90^{\circ }$ です。ここで T は接線上の点。

$\angle DBA$ は半円を見込む円周角なので $90^{\circ }$^[2]。三角形 ABD の内角の和から $\angle ADB=90^{\circ }-\angle DAB$ が出ます。

求めたい角 $\angle BAT$ は $90^{\circ }-\angle DAB$。だから $\angle BAT=\angle ADB$ になります。

$\angle ADB$ は弦 AB を反対側から見込む円周角なので、同じ弓形の中のどの角とも等しい^[3]。これで主張が出ました^[1]。

円周角が接線に近づく見方

弦 AB を固定し、円周角を見込む点を A に近づけていきます。角度は変わらないまま、視線の 1 本が接線に近づく。

P が A に重なった瞬間、線分 PA は接線になります。角度は変わっていないので、接線と弦のなす角が円周角に等しい。

厳密な証明ではありませんが、なぜ接線が円周角と同じ値をとるのかが直感で分かる見方です。

例：角度を求める

円に接する直線 TA があり、接点 A から弦 AB を引きます。$\angle TAB=58^{\circ }$ とします。

弦 AB を反対側から見込む円周角 $\angle APB$ は $58^{\circ }$。接線側の弓形にある点 Q から見た角は $180^{\circ }-58^{\circ }=122^{\circ }$ です。

同じ図で $\angle T^{\prime }AB$、つまり反対向きの角は $122^{\circ }$。こちらは接線側の弓形の角と等しくなります。

2 つの角がどちらの弓形に対応するかを、図で毎回確かめます。

逆も成り立つ

接線かどうかが分かっていない直線について、弦とはさむ角が反対側の円周角に等しければ、その直線は接線です。

示し方は背理法。もし接線でなければ、その直線は円を 2 点で切ります。切った点をとって順の定理を当てると、角が食い違う。

この逆は、接線であることを角度だけで示したいときに使います。長さを測る必要がありません。

例：三角形と接線

三角形 ABC の外接円に、点 A で接する直線を引きます。この接線と辺 AB がはさむ角は $\angle ACB$ に等しい。

同じ接線と辺 AC がはさむ角は $\angle ABC$ です。接線が 2 つの角を頂点 A に運んでくる形になります。

このとき接線は辺 BC と平行になるとは限りません。平行になるのは $AB=AC$ のときだけです。

まとめ

接弦定理を単独の公式として覚えると、使う場面を思い出しにくくなります。円周角の定理の延長として置くと定着します。

角が等しくなる相手を図で確かめる手順は、どちらの定理でも同じです。次の問いで確かめます。

つまずきやすいところ

接線を弦の極限と見る。この一言で、円周角の定理と接弦定理が 1 つにまとまります。

参考