円の外の点からひく 2 本の接線、長さがそろうという性質

円の外の 1 点から接線を引くと、必ず 2 本引けます。接点までの長さは 2 本とも同じです。

点を動かしても、円を大きくしても、この等式は崩れません。合同な直角三角形が 2 つできるためです。

まず接線そのものの性質から確かめます。

接線は半径と直交する

円と 1 点だけを共有する直線を接線と呼びます。接点を通る半径は、接線と直角に交わります。

理由は距離で考えると早い。中心から接線へ下ろした垂線の足が、中心にいちばん近い点になります。

その距離が半径より短ければ直線は円を 2 か所で切り、長ければ交わりません。ちょうど半径のときだけ 1 点で接する。

だから接点は垂線の足そのもの。半径と接線が直交します。

長さが等しい理由

外の点 P から円へ 2 本の接線を引き、接点を A、B とします。中心を O とすると、三角形 OAP と三角形 OBP を比べられます。

$OA=OB$ で、これは半径。$OP$ は共通。$\angle OAP=\angle OBP=90^{\circ }$ です。

斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい直角三角形なので合同。だから $PA=PB$ になります。

同時に $\angle APO=\angle BPO$ も出ます。PO は角 APB を二等分する直線です。

長さを計算する

三平方の定理を使うと、接線の長さが求まります。$OP=d$、半径を $r$ とします。

$$PA=\sqrt{d^2-r^2}$$

$d=13$、$r=5$ なら $PA=\sqrt{169-25}=12$。$5$、$12$、$13$ の直角三角形が現れます。

$d$ が $r$ に近づくと $PA$ は $0$ に近づき、$d=r$ で P が円周上に来て接線が 1 本になる。$d<r$ では接線が引けません。

例：三角形に内接する円

三角形 ABC に内接する円を考えます。3 つの頂点はどれも円の外にあるので、それぞれから 2 本ずつ接線が引けます。

その 2 本は辺 AB、BC、CA の一部そのもの。だから頂点から接点までの長さが、同じ頂点について 2 本とも等しくなります。

頂点 A からの長さを $x$、B からを $y$、C からを $z$ とすると、$y+z=a$、$z+x=b$、$x+y=c$。

3 式を足して 2 で割ると $x+y+z=s$ になり、$x=s-a$ が出ます^[3]。3 辺の長さだけで接点の位置が決まる。

例：3 辺が 5、6、7 のとき

$s=9$ なので $x=9-5=4$、$y=9-6=3$、$z=9-7=2$ です。

ただし $a$ は頂点 A の向かいの辺なので、対応をまちがえないようにします。$a=BC$、$b=CA$、$c=AB$。

確かめると $y+z=3+2=5=a$、$z+x=2+4=6=b$、$x+y=4+3=7=c$。すべて合いました。

接線の作図

円の外の点から接線を引くには、コンパスと定規だけで足ります^[1]。

線分 OP を直径とする円を描きます。この円ともとの円の交点が、そのまま接点になる。

理由は円周角の定理から出ます。OP を直径とする円の上の点は、OP を直角で見込む。だから半径と直交します^[2]。

2 つの円は必ず 2 点で交わるので、接線も 2 本引けます。

検算のしかた

出した接線の長さ $t$ と半径 $r$、中心までの距離 $d$ のあいだで $t^2+r^2=d^2$ に戻るかを見ます。

$15^2+8^2=225+64=289=17^2$。合いました。

もう 1 つは大小の向きです。接線の長さは必ず $d$ より短くなります。$t$ が $d$ を超えたら計算をとりちがえています。

参考文献