三角形が組めるかどうか〜いちばん長い辺と残り 2 辺の和くらべから

長さ $3$、$4$、$8$ の 3 本では三角形が作れません。$3+4=7$ が $8$ に届かないためです。

確かめるのはいちばん長い辺だけ。残る 2 本の和がそれを超えていれば、三角形は必ず閉じます。

条件は 1 本の不等式で書けます。

3 つの不等式は 1 つで足りる

3 辺を $a$、$b$、$c$ とすると、次の 3 つが同時に成り立つ必要があります^[1]。

$$a<b+c,b<c+a,c<a+b$$

ところが $a$ をいちばん長い辺にとると、残る 2 つは自動的に成り立ちます。$b<a$ で $a<c+a$ なので $b<c+a$ が言えるためです。

だから確かめるのはいちばん長い辺についての 1 本だけ。3 回計算する必要はありません。

いちばん長い辺がいちばん大きい角と向かい合うことも、同じ枠から出てきます^[3]。

$3$、$4$、$8$ なら $8<3+4$ が偽なので不成立。$3$、$4$、$6$ なら $6<7$ が真なので三角形ができます。

ユークリッドの証明

第 1 巻の 20 番目で、2 辺の和が残る 1 辺より大きいと述べられています^[1]。

証明では辺 BA を A の側へ延ばし、$AD=AC$ となる点 D をとります。三角形 ACD が二等辺三角形になる。

$\angle ADC=\angle ACD$ なので、$\angle BCD$ は $\angle ADC$ より大きくなります。$\angle BCD$ のほうが $\angle ACD$ を含んでいるためです。

大きい角の向かいの辺は長い、という命題を三角形 DCB に当てると $DB>BC$^[2]。$DB=BA+AD=BA+AC$ なので結論が出ます。

等号のときは 1 直線に潰れる

$a=b+c$ になると、3 点が同じ直線の上に並びます。面積が $0$ になり、三角形とは呼べません。

図で見ると、2 本の腕がぴったり伸びきって底辺に重なった状態です。角度がすべて $0$ 度か $180$ 度になる。

だから条件は $a<b+c$ で、等号を含みません。$3$、$4$、$7$ は三角形になりません。

例：1 辺だけ分からないとき

$b=5$、$c=9$ と決まっていて、$a$ の範囲を求めます。3 つの不等式をすべて書きます。

$a<5+9=14$、$5<9+a$ すなわち $a>-4$、$9<5+a$ すなわち $a>4$。

負の条件は意味を持たないので消えます。残るのは次の範囲です。

$$4<a<14$$

一般に、2 辺が $b$ と $c$ なら $|b-c|<a<b+c$。差と和が上下の境目になります。

例：整数の個数を数える

$b=5$、$c=9$ で $a$ が整数のとき、いくつの値がとれるか。

$4<a<14$ の範囲にある整数は $5$ から $13$ まで。$13-5+1=9$ 通りです。

境目の $4$ と $14$ は含めません。ここを含めてしまう誤りが多いので、不等号の向きを毎回書き出します。

距離としての意味

三角不等式は、長さが距離としてふるまうための条件でもあります。

平面上の 3 点 P、Q、R について $PR\le PQ+QR$ が成り立つ。等号は Q が線分 PR の上にあるときだけです。

遠回りは短くならない、という当たり前の事実を式にしたもの。ベクトルの大きさや絶対値でも同じ形の不等式が現れます。

$$|x+y|\le |x|+|y|$$

図形の話と数の話が同じ名前で呼ばれるのは、この構造が共通しているためです。

例：4 辺のときはどうなるか

長さ $2$、$3$、$4$、$20$ の 4 本で四角形が作れるかを考えます。

$2+3+4=9$ で $20$ に届きません。だから閉じない。多角形でも同じ形の条件が要ります。

$n$ 本の棒で多角形を作るには、いちばん長い 1 本が残り全部の和より短ければ足ります。三角形の場合はこれが $a<b+c$ になる。

四角形では形が 1 つに決まらず、条件を満たしていても無数の形が作れます。三角形だけが 3 辺で形まで決まる特別な図形です。

検算のしかた

出した範囲の両端の少し内側で、実際に三角形が作れるかを確かめます。$x=5$ なら $7+5=12>11$ で成立。

$x=17$ なら $7+11=18>17$ で成立します。境目のすぐ外、$x=4$ と $x=18$ では等号か不成立になる。

範囲の端をまたいで 2 点ずつ試す。これで不等号の向きのとりちがえがほぼ防げます。

参考