3 本の中線が 1 点で交わる不思議……三角形の重心を面積からたどる

三角形の各頂点から対辺の中点へ線を引くと、3 本が 1 点で交わります。この点は中線を $2 : 1$ に分けます。

長いほうが頂点の側。どんな形の三角形でも、この比は動きません。

理由は中点連結定理を 1 回使うだけで出ます。

中線と重心

頂点と対辺の中点を結ぶ線分を中線と呼びます。3 本の中線が交わる点が重心です^[1]。

重心は各中線を $2 : 1$ に分けます。頂点から重心までが $2$ 、重心から中点までが $1$ 。

英語では centroid、物理では重さの中心にあたる点でもあります。名前がいくつもあるのは、別々の文脈から同じ点にたどり着いたためです。

2 対 1 になる理由

辺 AB の中点を M、辺 AC の中点を N とします。中線 BN と中線 CM の交点を G とおきます。

中点連結定理から、MN は BC と平行で長さは半分です。だから三角形 GMN と三角形 GCB は相似で、相似比は $1 : 2$ 。

対応する辺の比が $1 : 2$ なので、 $GN : GB = 1 : 2$ 、 $GM : GC = 1 : 2$ が出ます。

2 本の中線の交点は、どちらの中線も $2 : 1$ に分ける。この事実が鍵になります。

3 本目も同じ点を通る

いま示したのは、中線 BN と CM の交点が両方を $2 : 1$ に分けることです。3 本目はまだ出てきません。

中線 AL と BN の交点を $G^{'}$ とすると、同じ議論から $G^{'}$ も BN を $2 : 1$ に分けます。

線分 BN を $2 : 1$ に分ける点は 1 つしかない。だから $G = G^{'}$ で、3 本目も同じ点を通ります^[2]。

「同じ比で分ける点は 1 つ」という一言が決め手になる。共点を示す議論では何度も出てくる形です。

2 本ずつ調べて、交点が同じ場所に来ることを言う。

3 本を同時に扱わずに済むので、議論が短くなります。共点の証明でよく使う運びです。

切片定理で示す道もある

平行線が線分を等しい比で切る性質だけを使う証明もあります^[3]。

辺 BC の中点 $M_{a}$ と辺 AB の中点 $M_{c}$ から、中線 $B M_{b}$ に平行な直線を引きます。この 2 本が辺 AC を切る点を $T_{1}$ 、 $T_{2}$ とします。

A を中心に切片定理を当てると $T_{2}$ は $A M_{b}$ の中点。C を中心に当てると $T_{1}$ は $C M_{b}$ の中点になります。

これで AC が 4 等分され、 $A M_{b}$ が $A T_{1}$ の $\frac{2}{3}$ だと分かる。同じ比が中線の側へ移り、 $A G$ が $A M_{a}$ の $\frac{2}{3}$ になります。

例：座標で求める

$A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 、 $C (x_{3}, y_{3})$ とします。重心の座標は 3 頂点の平均です。

$G (\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}, \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3})$

$A (0, 6)$ 、 $B (- 3, 0)$ 、 $C (9, 0)$ なら $G (2, 2)$ になります。

中点 $M_{a}$ は $(3, 0)$ で、 $A$ から $M_{a}$ へ向かう線分上で $2 : 1$ の内分点を計算すると $(2, 2)$ 。座標でも比が確かめられます。

6 つの面積が等しくなる

3 本の中線を全部引くと、三角形は 6 つに分かれます。この 6 つは面積が等しい。

中線 AL は面積を二等分します。中線 BN も、CM も同じ。3 本すべてが二等分するので、6 つが均等に割れます。

もう少していねいに見ると、隣り合う 2 つは底辺が等しく高さが共通です。だから 2 つずつが等しく、それが 3 組そろって全部が等しくなる。

面積を等しく 6 つに分ける点は、三角形の中でここだけです。

例：重心を通る直線

重心を通り、辺 BC に平行な直線を引きます。この直線が AB、AC を切る点はどこか。

$A G : A L = 2 : 3$ なので、平行線は AB と AC を $2 : 1$ に切ります。切りとられる三角形は全体の $\frac{4}{9}$ 。

重心を通る直線が三角形を必ず二等分するわけではありません。二等分するのは中線のときだけです。

中線を引く

面積はぴたりと半分になる

重心を通る別の直線

面積は半分にならない。 $\frac{4}{9}$ と $\frac{5}{9}$ のように偏る

例：中線の長さ

$A B = c$ 、 $A C = b$ 、 $B C = a$ とすると、辺 BC への中線の長さ $m_{a}$ は次の式で出ます。

$m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$

$a = 8$ 、 $b = 6$ 、 $c = 7$ なら $m_{a}^{2} = \frac{72 + 98 - 64}{4} = \frac{106}{4}$ で $m_{a} \approx 5.15$ 。

重心から中点までの長さは、この $\frac{1}{3}$ になります。

三角形 ABC の重心を G、辺 BC の中点を M とします。 $A M = 12$ のとき $GM$ はいくつですか。

__RESULT__

重心は中線を $2 : 1$ に分け、短いほうが中点の側です。 $GM = 12 \times \frac{1}{3} = 4$ 。 $8$ は $A G$ の値、 $6$ は中点で二等分したときの値になります。

補足

重心は双曲幾何でも同じように定義でき、3 本の中線が 1 点で交わる性質が保たれます^[1]。

平行線の性質が違う世界でも結論が残る。中線の共点は、思ったより深いところにある事実です。

四面体でも同じ形の主張が成り立ちます。頂点と向かい合う面の重心を結ぶ 4 本が 1 点で交わり、その点は各線分を $3 : 1$ に分けます。

参考

Median (of a triangle)). Encyclopedia of Mathematics.

Euclid's *Elements*, Book VI, Proposition 2. D. E. Joyce, Clark University.

Beweis mit Strahlensätzen. R. Albers, Universität Bremen.

重心は中線を $2 : 1$ に分け、長いほうが頂点の側にきます。理由は中点連結定理から出る。$MN$ が $BC$ と平行で半分なので、上下の三角形が相似比 $1 : 2$ になります。3 本目が同じ点を通ることは、同じ比で分ける点は 1 つしかない、という一言で決まる。座標では 3 頂点の平均がそのまま重心になります。3 本を全部引くと三角形は面積の等しい 6 つに割れる。重心を通る直線が面積を二等分するのは中線のときだけで、それ以外は $\frac{4}{9}$ と $\frac{5}{9}$ のように偏ります。