垂心が三角形の外へ出るとき（鈍角三角形と鋭角三角形の違い）

各頂点から対辺へ下ろした垂線は、3 本とも 1 点で交わります。この点が垂心です^[1]。

鋭角三角形なら内部、直角三角形なら直角の頂点そのもの、鈍角三角形なら外部。3 通りに分かれます。

内心が必ず内部にとどまるのと対照的です。

3 本が集まる理由

いちばん短い証明は、外心に帰着させるものです。各頂点を通り、対辺に平行な直線を 3 本引きます。

3 本が囲む大きな三角形を考えると、もとの三角形の頂点は、大きな三角形の各辺の中点になります。

もとの垂線は、大きな三角形の辺に垂直で、しかもその中点を通る。つまり垂直二等分線です。

垂直二等分線が 1 点で交わることはすでに分かっています。だから垂線も 1 点で交わります。

直角三角形では頂点に重なる

角 A が直角のとき、辺 AB と辺 AC はもともと直交しています。

B から CA へ下ろした垂線は AB そのもの。C から AB へ下ろした垂線は AC そのものです。

2 本の交点は A。だから垂心は直角の頂点に重なります。3 本目の垂線も、当然 A を通ります。

垂心と頂点が同じ点になるのは、この場合だけです。

鈍角三角形では足が延長に出る

角 A が鈍角だとします。B から辺 CA へ下ろした垂線の足は、辺の上ではなく CA の延長にあります。

C から AB へ下ろした足も同じ。垂線を延ばして交わる点を探すと、三角形の外側で見つかります。

外へ出るのは、いちばん大きい角が鈍角のとき。判定の基準は外心と同じです^[2]。

鈍角三角形の図で垂心を三角形の中に描いてしまう誤りは、足が延長に出ることを忘れたときに起こります。

例：座標で垂心を出す

$A(0,6)$、$B(-2,0)$、$C(6,0)$ とします。BC は $x$ 軸なので、A からの垂線は $x=0$。

B から CA への垂線を求めます。CA の傾きは $\frac{6-0}{0-6}=-1$ なので、垂線の傾きは $1$。B を通るので $y=x+2$ です。

$x=0$ を代入して $y=2$。垂心は $H(0,2)$ になります。

3 本目の C からの垂線でも同じ点が出ることを確かめれば、計算の検算になります。

垂足三角形

3 つの垂線の足を結んでできる三角形を垂足三角形と呼びます。

鋭角三角形では、もとの三角形の垂心が、垂足三角形の内心になります。垂線が角の二等分線の役目に変わる。

外心、重心、垂心はオイラー線という 1 本の直線に並びます^[2]。垂心から各頂点までの中点なども、九点円という 1 つの円に乗ります^[1]。

九点円の 9 点は、3 つの辺の中点、3 つの垂線の足、垂心と各頂点を結んだ 3 つの中点です。

直交系という見方

三角形 ABC の垂心を H とすると、A、B、C、H の 4 点には特別な関係があります。

どの 3 点をとっても、残る 1 点がその三角形の垂心になる。4 点が対等な立場に立ちます^[1]。

たとえば三角形 HBC の垂心は A です。この見方をとると、鈍角三角形の垂心が外に出ることも自然に見えてきます。

もとの三角形が鈍角なら、垂心を含む 4 点のうち 1 つが他の 3 点が作る三角形の外にある、というだけのことです。

補足

垂心は、外心を中心にした点対称の操作と関係します。外心を O、重心を G、垂心を H とすると $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$ が成り立ちます^[3]。

この 1 本のベクトル等式から、3 つの中心が一直線に並ぶことも、比が $2:1$ になることも出てきます。

垂心だけを単独で調べるより、外心と重心と並べて見たほうが構造がはっきりします。

参考文献