円に内接する四角形の向かい合う角を足すと 180 度になる

4 つの頂点が同じ円の上にある四角形では、向かい合う角の和が $180^{\circ }$ になります。

4 つの頂点をどう動かしても、円の上にあるかぎり和は変わりません。片方が大きくなれば、もう片方が同じだけ小さくなる。

理由は 2 通りの見方から出せます。

ユークリッドの述べ方

第 3 巻の 22 番目は、円に内接する四角形の向かい合う角の和は 2 直角に等しい、と述べています^[1]。

2 直角は $180^{\circ }$ のこと。ユークリッドは角度を数で測らず、直角をものさしにして述べます。

証明では対角線 AC と BD を引き、同じ弧を見込む角が等しいという性質を使います^[1]。

円周角で示す

角 ABC を求めます。この角は三角形 ABC の 1 つの内角なので、$\angle ABC=180^{\circ }-\angle BAC-\angle BCA$ です。

ここで $\angle BAC=\angle BDC$、$\angle BCA=\angle BDA$ が言えます。どちらも同じ弧を見込む円周角だからです。

代入すると $\angle ABC=180^{\circ }-\angle BDC-\angle BDA$。右の 2 つを足すと $\angle ADC$ そのものになります。

$$\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ }$$

同じ手順を $\angle BAD$ と $\angle BCD$ にも当てれば、こちらの和も $180^{\circ }$ です^[1]。

中心角で示す

もう 1 つの道すじは弧を数えることです。角 A は弧 BCD を見込む円周角、角 C は弧 DAB を見込む円周角。

2 つの弧を合わせると円周全体になります。だから対応する中心角の和は $360^{\circ }$。

円周角は中心角の半分なので、和は $180^{\circ }$ になります^[2,3]。弧の言葉に直すと計算が 1 行で済みます。

外角は向かい合う内角に等しい

辺 BC を C の側へ延ばし、外角 DCE を作ります。この外角は $180^{\circ }-\angle BCD$ です。

対角の和が $180^{\circ }$ なので $\angle BAD=180^{\circ }-\angle BCD$。2 つが同じ値になります。

$$\angle DCE=\angle BAD$$

外角が向かい合う内角に等しい。角度を求める問題では、この形のほうが使いやすいことが多い。

例：角度を求める

円に内接する四角形 ABCD で $\angle A=84^{\circ }$ とします。向かい合う $\angle C$ は $180^{\circ }-84^{\circ }=96^{\circ }$。

さらに $\angle B=71^{\circ }$ なら $\angle D=109^{\circ }$ です。4 つを足すと $360^{\circ }$ で、四角形の内角の和と一致します。

外角の形で使うなら、辺 AB を B の側へ延ばした外角が $\angle D$ に等しく $109^{\circ }$。図の外側の角も 1 手で出ます。

どんな四角形が円に内接するか

正方形と長方形はいつでも円に内接します。4 つの角がすべて直角なので、対角の和が必ず $180^{\circ }$ になる。

ひし形は正方形のときだけ内接します。正方形でないひし形では、向かい合う角が等しく和が $180^{\circ }$ になりません。

台形では等脚台形だけが内接します。平行な 2 辺にはさまれた角が補い合う形になるためです。

例：平行四辺形が内接するとき

平行四辺形では向かい合う角が等しくなります。$\angle A=\angle C$ です。

内接するなら $\angle A+\angle C=180^{\circ }$ なので、$2\angle A=180^{\circ }$ から $\angle A=90^{\circ }$。

4 つの角がすべて直角になるので、長方形しかありません。平行四辺形で円に内接するのは長方形だけです。

つまずきやすいところ

対角の和が $180^{\circ }$。この 1 本から、外角の性質も内接する図形の限定も出てきます。

参考