外角の二等分線がつくるのは外分点、内角のときとの分かれ目

三角形 ABC で角 A の外角を二等分する直線は、辺 BC ではなく BC の延長と交わります。交点を E とすると $BE:EC=AB:AC$ です。

比の値は内角のときとまったく同じ。変わるのは点の落ちる場所だけです。

$AB$ と $AC$ の差が小さくなるほど、E は遠くへ逃げていきます。

主張の形

角 A の外角の二等分線が直線 BC と交わる点を E とすると、次が成り立ちます^[1]。

$$BE:EC=AB:AC$$

E は線分 BC の外にあるので、この比は外分の比です。内角のときの D は内分点で、比の値は同じ $AB:AC$。

同じ比の内分点と外分点が組で現れる。この 4 点 B、D、C、E は調和点列と呼ばれます^[3]。

2 本の二等分線は直交する

内角の二等分線と外角の二等分線は、頂点 A で垂直に交わります。

角 A の内角を $2\alpha$、外角を $2\beta$ とすると $2\alpha +2\beta =180^{\circ }$。両辺を 2 で割れば $\alpha +\beta =90^{\circ }$ です。

内角の半分と外角の半分を足すと直角になる。だから 2 本は直交します。

平行線を引いて示す

証明の運びは内角のときと同じです。点 C を通り、外角の二等分線 AE に平行な直線を引きます。

この直線と辺 AB との交点を F とすると、三角形 ACF が二等辺三角形になり $AF=AC$ が出ます^[1]。

角を運ぶ道具も同じ。錯角と同位角で、外角の二等分線がつくる 2 つの等しい角を三角形 ACF へ移します。

あとは三角形 BAE の中で FC が AE に平行なので、$BE:EC$ が $BA:AF$ に等しい。$AF=AC$ を代入して主張が出ます。

例：長さを求める

$AB=12$、$AC=8$、$BC=10$ の三角形で、角 A の外角の二等分線が直線 BC を切る点を E とします。

$BE:EC=12:8=3:2$ です。E は C の外側にあるので $BE-EC=BC=10$。

$3k-2k=10$ から $k=10$ となり、$BE=30$、$EC=20$。C を $20$ だけ越えた点が E です。

内分のときは足して $BC$ になりましたが、外分では引いて $BC$ になる。この差だけを押さえます。

二等辺三角形には外分点がない

$AB=AC$ のとき比は $1:1$ です。$1:1$ の外分点は存在しません。

図で見ると、外角の二等分線が BC と平行になっている。平行な 2 直線は交わらないので、E がどこにも現れません^[2]。

$AB$ と $AC$ を近づけていくと E は遠ざかり、等しくなった瞬間に消える。この振る舞いは連続しています。

例：どちら側の外に出るか

$AB>AC$ なら、E は C の側の外に出ます。長いほうの辺が向かう端とは反対側です。

$AB=12$、$AC=8$ なら $BE=30$、$EC=20$ で、たしかに C を越えています。

$AB<AC$ に入れかえると、E は B の側の外へ移る。長さの大小がそのまま向きを決めます。

傍心につながる

角 A の内角の二等分線と、角 B と角 C の外角の二等分線。この 3 本は 1 点で交わります^[2]。

交点は三角形の外側にあり、辺 BC と、AB と AC の延長に接する円の中心になります。傍心と呼ばれる点です。

外角の二等分線は単独の道具ではない。内角の二等分線と組んで、三角形の外側にもう 1 つの中心を作ります。

例：外分点の位置を計算する

外分の計算は差を使う、という一点さえ押さえれば手は止まりません。次の問いで確かめます。

まちがえやすい点

内角と外角で変わるのは、比の読み方ひとつ。値そのものは同じ $AB:AC$ です。

参考