有理型関数はどこまで自由に極を置けるか（ミッタク・レフラーの定理と部分分数分解）

極のほかに悪い点を持たない関数を、有理型と呼びます。

正確には、領域から孤立した点の集まりを除いて正則で、除いた点がすべて極であること。真性特異点も分岐点も許しません^[1]。

有理関数、$\tan z$、$1/\sin z$、ガンマ関数がその例です。$e^{1/z}$ は原点が真性特異点なので外れる。

多項式に対する有理関数のような位置に、整関数に対する有理型関数があります。分母を持てるようになった、というだけの拡張。

それでも、極をどこにどう置けるかという問いは、思ったより奥があります。

極は孤立していなければならない

上の関数は $z=1/(n\pi )$ で極を持ちます。この列は原点へ集まる。

原点を含む領域では、この関数は有理型ではありません。原点のどんな近傍にも極が入るので、原点が孤立特異点にならないためです^[6]。

原点を抜いた領域なら有理型です。どこまでを領域と見るかで、有理型かどうかが変わる。

孤立という条件から、極は高々可算個。コンパクト集合の中には有限個しか入りません。

体になる

領域が連結なら、その上の有理型関数は体を作ります。和、差、積に加えて、恒等的に $0$ でないものによる商も有理型。

商が有理型になるのは、零点が孤立するからです。分母の零点が分子の零点で打ち消されなければ極になり、それだけで済む。

正則関数の全体は環にしかなりません。$1/z$ が正則でないので、割り算が閉じない。極を許した瞬間に、割り算が使えるようになります。

球面への写像として見る

極での値を $\infty$ だと認めると、有理型関数はリーマン球面への連続な写像になります。

恒等的に $\infty$ でない、球面への正則写像。これが有理型関数のもう 1 つの定義です。

この見方では、極が特別な点でなくなります。値が $\infty$ になるだけの、ふつうの点。

零点と極が対等になるのも同じ事情です。$f$ の極は $1/f$ の零点で、球面の回転で $0$ と $\infty$ を入れ替えれば移り合う。

球面全体で有理型なら有理関数

領域を球面全体にとると、話が一気に絞られます。

球面はコンパクトなので、極は有限個しかありません。極が無限にあれば集積してしまう。

各極の主要部を集めて引くと、球面全体で正則な関数が残ります。それは有界なので定数。

したがって関数は、有限個の主要部と定数の和。整理すれば有理関数です。球面で有理型な関数は有理関数しかない^[4,5]。

個数がそろう

有理関数 $f=P/Q$ の次数を $\max (\mathrm{deg}P,\mathrm{deg}Q)$ とします。このとき、球面上で $f$ はどの値もちょうどこの回数だけとる。

値 $\infty$ も含みます。極の個数も零点の個数も、重複を込めて次数に等しい^[7]。

上の図の例は $(z-a)/(z^2+1)$ です。零点は $a$ と無限遠点、極は $\pm i$ で、どちらも 2 個。

平面だけを見ると零点が 1 個で数が合いません。無限遠点まで込めて数えると合う。

極を自由に置けるか

零点を自由に置けることは、ワイエルシュトラスの定理が保証していました。極についても同じことが言えます。

極の位置と、そこでの主要部を先に決める。集積点を持たない列でありさえすれば、それを実現する有理型関数が作れます。

$$p_a(z)=\frac{c_{-1}}{z-a}+\frac{c_{-2}}{(z-a{)}^2}+\cdots +\frac{c_{-m}}{(z-a{)}^m}$$

これがミッタク・レフラーの定理です^[2]。主要部を並べて足すだけでは収束しないので、補正を入れる。

補正の入れ方

主要部を並べた和 $\sum p_{a_n}(z)$ は、そのままでは収束しないことがあります。

各項から、多項式を引いて調整します。$p_{a_n}$ を $0$ のまわりでテイラー展開し、頭のいくつかの項を引く。

$$f(z)=\sum _n\left(p_{a_n}(z)-q_n(z)\right)$$

$q_n$ は多項式なので、引いても極は増えません。ワイエルシュトラスが指数因子を掛けたのに対し、こちらは多項式を引く。

引く項数を極の位置に応じて選べば、収束させられます。$a_n$ が遠いほど、少ない項数で足りる。

例：コタンジェント

$\pi \cot \pi z$ の極はすべて整数にあり、留数はどれも $1$ です。主要部は $1/(z-n)$。

そのまま足すと発散するので、$n$ と $-n$ を組にします。

$$\pi \cot \pi z=\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2z}{z^2-n^2}$$

組にすると $1/(z-n)+1/(z+n)=2z/(z^2-n^2)$ で、$n$ が大きいところで $1/n^2$ の程度に小さくなります。これで収束する。

例：$1/\sin$ と $1/\cos$

$\pi /\sin \pi z$ の極も整数にありますが、留数の符号が交互に変わります。

$$\frac{\pi }{\sin \pi z}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{z-n}$$

符号が交代するので、組にしなくても収束します。交代級数として扱えるため。

$\pi /\cos \pi z$ なら極が半整数に並びます。

$$\frac{\pi }{\cos \pi z}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{z-\left(n+\frac{1}{2}\right)}$$

どれも、極の位置と留数を並べただけで関数が復元されている形です。

整関数の商として

有理型関数は、共通零点を持たない 2 つの整関数の商として書けます。

極の位置を零点に持つ整関数を、ワイエルシュトラスの定理で作って分母にする。掛け合わせると分子が整関数になり、商の形が得られます。

多項式の商が有理関数だったのに対応します。次数が無限でも、同じ構造が保たれる^[3]。

2 つの定理は対数微分で結ばれる

ワイエルシュトラスは積で零点を作り、ミッタク・レフラーは和で極を作ります。この 2 つは無関係ではありません。

$$\frac{d}{dz}\log \sin \pi z=\pi \cot \pi z$$

サインの積表示を対数微分すると、コタンジェントの部分分数分解が出てきます。積が和に、零点が極に移る。

一般に、$f$ の対数微分 $f^{\prime }/f$ は、$f$ の零点と極のところに 1 位の極を持ちます。留数はそこでの位数。

だから積表示から部分分数分解が作れ、逆に部分分数分解を積分すれば積表示が復元できます。

極の分布と関数の増大

極が密に並ぶほど、関数は激しく振る舞います。零点と位数の関係と同じ話。

$\tan z$ の極は等間隔に並び、半径 $r$ の中の個数は $r$ に比例します。伸び方はおとなしい。

ガンマ関数の極は負の整数に並び、こちらも個数が $r$ に比例します。片側だけに並ぶところが違う。

極が集積してしまうと、有理型の枠から外れます。個数が急に増えるのは、その手前の兆候になる。

値の分布を測る

零点と極を数える議論を、すべての値へ広げた理論があります。ネヴァンリンナ理論と呼ばれるもの。

有理型関数がある値を何回とるかを、増大度と比べて測ります。ピカールの定理が言う例外値も、この枠の中で説明される^[8]。

有理関数がどの値も同じ回数とる、という性質の一般化にあたります。値ごとの回数の差が、どれくらい小さいかを定量的に押さえる。

よくある誤り

極を許すという小さな拡張で、割り算が使えるようになり、球面への写像として見通しがつき、極の配置を自由に指定できるようになりました。零点の側と極の側が、対数微分でひとつながりになっているところも面白いところです。

参考文献