留数の計算方法と実積分への応用

留数定理を使うには、特異点での留数を求める必要があります。ここでは、よく使う計算テクニックと実積分への応用を紹介します。

1 位の極での留数

$f(z)$ が $z=a$ で 1 位の極（単純極）を持つとき

$$\mathrm{Res}(f,a)=\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)$$

たとえば $f(z)=\frac{1}{z-1}$ なら

$$\mathrm{Res}(f,1)=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)\cdot \frac{1}{z-1}=1$$

$g(z)/h(z)$ 型の公式

$f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$ で、$h(a)=0$、$h^{\prime }(a)\ne 0$、$g(a)\ne 0$ のとき

$$\mathrm{Res}(f,a)=\frac{g(a)}{h^{\prime }(a)}$$

これは非常に便利です。たとえば $f(z)=\frac{e^z}{z^2-1}$ の $z=1$ での留数は

$$\mathrm{Res}(f,1)=\frac{e^1}{2\cdot 1}=\frac{e}{2}$$

$n$ 位の極での留数

$f(z)$ が $z=a$ で $n$ 位の極を持つとき

$$\mathrm{Res}(f,a)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to a}{\lim }\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}\left[(z-a{)}^{n}f(z)\right]$$

たとえば $f(z)=\frac{1}{z^3}$ は $z=0$ で 3 位の極を持ちます。$(z-0{)}^{3}f(z)=1$ なので、2 階微分すると 0 になり、$\mathrm{Res}(f,0)=0$ です。

実積分への応用（三角関数型）

${\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2+\cos \theta }d\theta$ を計算してみます。

$z=e^{i\theta }$ とおくと $\cos \theta =\frac{z+z^{-1}}{2}$、$d\theta =\frac{dz}{iz}$ なので

$${\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2+\cos \theta }d\theta ={\oint }_{|z|=1}\frac{1}{2+\frac{z+z^{-1}}{2}}\cdot \frac{dz}{iz}={\oint }_{|z|=1}\frac{2}{i(z^2+4z+1)}dz$$

$z^2+4z+1=0$ の解は $z=-2\pm \sqrt{3}$ です。$|z|<1$ にあるのは $z=-2+\sqrt{3}$ だけです。

$$\mathrm{Res}\left(\frac{2}{i(z^2+4z+1)},-2+\sqrt{3}\right)=\frac{2}{i\cdot 2(-2+\sqrt{3}+2)}=\frac{1}{i\sqrt{3}}$$

よって

$${\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2+\cos \theta }d\theta =2\pi i\cdot \frac{1}{i\sqrt{3}}=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}$$

実積分への応用（実軸上の積分）

${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{x^2+1}dx$ を計算します。

上半平面に半円を足した経路を考えます。$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$ は $z=i$ で 1 位の極を持ち

$$\mathrm{Res}(f,i)=\frac{1}{2i}$$

半円部分の積分は半径 $R\to \infty$ で 0 に収束するので（ジョルダンの補題）

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{x^2+1}dx=2\pi i\cdot \frac{1}{2i}=\pi$$

留数定理を使えば、初等的な方法では難しい積分も計算できます。