リーマンゼータ関数の基礎

リーマンゼータ関数は、素数分布の謎を解く鍵として 19 世紀に導入された。複素解析の技法が整数論に応用される典型例であり、未解決のリーマン予想で広く知られている。

定義と収束

$\mathrm{Re}s>1$ に対して、リーマンゼータ関数は

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$$

で定義される。各項 $n^{-s}=e^{-s\log n}$ は $s$ の正則関数であり、$\mathrm{Re}s>1$ で級数は絶対収束する。

オイラー積

$\zeta (s)$ は素数との深い関係を持つ。オイラー積表示

$$\zeta (s)=\prod _{p:\text{素数}}\frac{1}{1-p^{-s}}$$

は、素因数分解の一意性から従う。各因子 $(1-p^{-s}{)}^{-1}=1+p^{-s}+p^{-2s}+\cdots$ を展開して積を取ると、$\sum n^{-s}$ が再現される。

このオイラー積から、$\zeta (s)\ne 0$（$\mathrm{Re}s>1$）が分かる。各因子が 0 でないからだ。

解析接続

$\zeta (s)$ は $\mathrm{Re}s>1$ の領域から複素平面全体に解析接続できる。$s=1$ は単純極で、留数は 1 だ。

$$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}+\gamma +O(s-1)$$

ここで $\gamma \approx 0.5772$ はオイラー・マスケローニ定数。$s=1$ 以外では $\zeta (s)$ は正則となる。

関数等式

$\zeta (s)$ は $s$ と $1-s$ を結ぶ関数等式を満たす。

$$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$$

または、$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)$ と置くと

$$\xi (s)=\xi (1-s)$$

という対称的な形になる。この関数等式は解析接続を与える方法の一つでもある。

リーマン予想

$\zeta (s)$ の非自明な零点（$s=-2,-4,\dots$ 以外の零点）は、すべて $\mathrm{Re}s=1/2$ 上にあるというのがリーマン予想だ。直線 $\mathrm{Re}s=1/2$ を臨界線と呼ぶ。

素数の分布を精密に記述する素数定理の誤差項は、$\zeta (s)$ の零点分布と密接に関わる。リーマン予想が正しければ、素数の分布に関する最良の誤差評価が得られる。

特殊値

$\zeta (s)$ の正の偶数での値は $\pi$ のべきで表せる。

$$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6},\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90},\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}$$

一方、$\zeta (3)$, $\zeta (5)$ など奇数での値は $\pi$ との関係が不明で、$\zeta (3)$ が無理数であることはアペリーによって証明されたが（1978 年）、超越性は未解決だ。