リーマンゼータ関数と素数……オイラー積から関数等式、臨界線と未解決の予想へ

自然数のべきの逆数を足し上げた級数から始まります。

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$$

$s$ の実部が $1$ より大きいときだけ、この級数は収束します。$s=1$ では調和級数になって発散する。

それでも $\zeta$ は、$s=1$ を除く複素平面全体へ延びます。延ばした先での零点の位置が、素数の並び方を握っている。

級数の見た目は素朴なのに、そこから素数の分布まで届く。この落差が、ゼータ関数がくり返し語られる理由です^[1]。

収束する範囲

$|n^{-s}|=n^{-\sigma }$ なので、$\sigma =\mathrm{Re}s$ だけが収束を決めます。虚部は各項を回すだけで、大きさを変えない。

$\sigma >1$ なら $\sum n^{-\sigma }$ が収束するので、絶対収束します。$\sigma \le 1$ では発散する。

収束する半平面では、級数の和は正則です。項別に微分でき、導関数も同じ半平面で正則になります。

境界の $\sigma =1$ の上では、$s=1$ を除いて条件収束する点もあります。ただし絶対収束はしません。

オイラー積

素数との橋渡しは、次の積表示がします。

$$\zeta (s)=\prod _{p:\text{素数}}\frac{1}{1-p^{-s}}$$

各因子を等比級数に開き、掛け合わせると和が出てきます。$1/n^s$ の項がちょうど 1 回ずつ現れるのは、素因数分解が一意だから。

つまりこの等式は、算術の基本定理を解析の言葉で書いたものです^[2]。

素数が無限にあること

オイラー積から、素数が無限個あることが出ます。有限個だと仮定してみる。

$s\to 1$ とすると左辺は発散します。右辺は有限個の因子の積なので、有限の値に近づく。

矛盾するので、素数は無限個。ユークリッドの証明とはまったく別の道筋で、同じ結論に届きます。

さらに強い主張も出ます。$\sum 1/p$ が発散するので、素数は平方数よりずっと密に並んでいる。

解析接続

$\sigma >1$ の外へ延ばす道具はいくつかあります。いちばん短いのは交代級数を使う手。

$$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)$$

左辺は $\sigma >0$ で収束します。だから $\zeta (s)=\eta (s)/(1-2^{1-s})$ で、$\sigma >0$ まで延びる。

分母が消える点が気になりますが、$s=1$ 以外では分子も消えるので打ち消し合います。残るのは $s=1$ の 1 位の極だけ。

$$\zeta (s)\sim \frac{1}{s-1}(s\to 1)$$

留数は $1$。この極が、素数の個数を数えるときの主役になります。

一致の定理から、延ばし方は 1 通りです。どの方法で延ばしても同じ関数になる^[7]。

関数等式

$s$ と $1-s$ を結ぶ対称性があります。

$$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \frac{\pi s}{2}\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$$

これで $\sigma <0$ の側まで一気に延びます。右辺は $\sigma <0$ のとき $1-s$ の実部が $1$ より大きく、級数が使える。

ガンマ関数を混ぜて整えると、もっときれいな形になります。

$$\xi (s)={\pi }^{-s/2}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s),\xi (s)=\xi (1-s)$$

$\xi$ は整関数で、$\mathrm{Re}s=1/2$ の線について対称です。この線を臨界線と呼びます^[3,4]。

自明な零点

関数等式の $\sin (\pi s/2)$ が、負の偶数で $0$ になります。$s=-2,-4,-6,\dots$。

これらが自明な零点です。ガンマ関数の極と打ち消し合わない場所に、素直に現れる。

$s=0$ では $\Gamma (1-s)$ が有限で $\sin$ が $0$ ですが、$\zeta (1)$ が極なので打ち消し合います。$\zeta (0)=-1/2$。

臨界帯

$\sigma >1$ では、オイラー積から $\zeta \ne 0$ です。各因子が $0$ にならず、積が収束するため。

関数等式から、$\sigma <0$ では自明な零点しかありません。残るのは $0\le \sigma \le 1$ の帯だけ。

この帯を臨界帯と呼び、そこにある零点を非自明な零点と言います。無限個あることが知られている^[5]。

$$\zeta \left(\frac{1}{2}+it\right)=0$$

見つかっている零点は、どれもこの形をしています。すべてがそうだ、という予想がリーマン予想です。

臨界線の上を歩く

$t$ を動かしながら $\zeta (1/2+it)$ の値そのものを平面に描くと、原点を通る回数が零点の個数になります。

軌跡が何度も原点をかすめます。ぴったり通る瞬間が零点で、そのたびに回転数が 1 つ増える。

リーマン予想

リーマン予想は、非自明な零点がすべて $\mathrm{Re}s=1/2$ の上にあるという主張です。1859 年に述べられ、いまも未解決。

数値的には、下から順に何兆個もの零点が線の上にあると確かめられています。それでも証明にはなりません。

$\xi$ が $1/2$ について対称なので、零点は $1/2$ を軸に対称に現れます。予想は、その対を 1 点につぶすという主張。

零点の位置が素数の個数の誤差項を支配するので、予想が正しければ誤差の評価が最良になります。多くの定理が「リーマン予想を仮定すると」という但し書きで並ぶのはこのため。

特殊値

偶数での値は、円周率のべきで書けます。

$$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6},\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90},\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}$$

一般に $\zeta (2n)$ はベルヌーイ数を使って書けます。オイラーが最初に求めた形。

奇数での値は、まったく事情が違います。$\zeta (3)$ が無理数であることは知られていますが、閉じた式は見つかっていない。

負の整数での値は、関数等式から出ます。

$$\zeta (0)=-\frac{1}{2},\zeta (-1)=-\frac{1}{12},\zeta (-3)=\frac{1}{120}$$

$\zeta (-1)=-1/12$ が、すべての自然数の和という文脈で引かれることがあります。もとの級数はそこで発散しており、延ばした先での値だという点を落とさないよう気をつけます。

負の奇数での値は自明な零点なので $0$。$\zeta (-2)=\zeta (-4)=0$ です。

素数の個数との関係

$\log \zeta$ を微分すると、オイラー積から素数を数える和が出てきます。

$$-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=2}^{\infty }\frac{\Lambda (n)}{n^s}$$

$\Lambda$ は素数のべきのところだけ $\log p$ になる関数です。左辺の極と零点が、右辺の和の振る舞いを決める。

$s=1$ の極が主要項を作り、非自明な零点が誤差項を作ります。これが明示公式と呼ばれる関係。

素数定理は、$\sigma =1$ の線の上に零点がないことと同値です。零点の位置を追い出す議論が、そのまま素数の分布の議論になります。

$$\pi (x)\sim \frac{x}{\log x}$$

零点が臨界線に集まっているほど、この近似の誤差が小さくなる。リーマン予想が素数の並びの話だと言われるのは、この道筋のためです。

積表示

$\xi$ は整関数で、零点がゼータの非自明な零点と一致します。位数が $1$ なので、アダマールの因数分解定理が使える^[6]。

$$\xi (s)=e^{A+Bs}\prod _{\rho }\left(1-\frac{s}{\rho }\right)e^{s/\rho }$$

積は非自明な零点 $\rho$ 全体をわたります。ゼータ関数が、零点の位置だけからほぼ復元できるという形。

零点を全部知ることと、素数を全部知ることが、この式で結ばれています。

よくある誤り

級数と素数の積が同じものを表す、というオイラーの発見が出発点でした。そこへ解析接続と関数等式を足すと、零点の位置という 1 点に問題が集約されます。素朴な足し算から始まって、いまも解けていない問いへ届く道筋です。

参考文献