円に内接する四角形の対角線、トレミーの定理が結ぶ 2 組の積

円に内接する四角形 ABCD で、対角線の積が向かい合う辺の積の和に等しくなります。

$$AC\times BD=AB\times CD+BC\times DA$$

6 つの長さが 1 本の等式で結ばれる。5 つ分かれば残り 1 つが出ます。

証明は補助線 1 本で終わります。

補助線を 1 本引く

対角線 AC の上に点 K をとり、$\angle ABK=\angle CBD$ となるようにします。角 B を 2 つに切り分ける形です。

三角形 ABK と三角形 DBC を比べます。いま作った角が等しく、$\angle BAK$ と $\angle BDC$ は弧 BC を見込む円周角なので等しい。

2 角が等しいので相似です。対応する辺から $\frac{AK}{AB}=\frac{CD}{BD}$、つまり $AK\times BD=AB\times CD$。

もう 1 組の相似

同じ図で、三角形 ABD と三角形 KBC を比べます。

$\angle ABD=\angle ABK+\angle KBD$、$\angle KBC=\angle KBD+\angle DBC$ です。$\angle ABK=\angle DBC$ なので、この 2 つの角は等しくなります。

さらに $\angle ADB$ と $\angle KCB$ は弧 AB を見込む円周角なので等しい。だから 2 つの三角形も相似です。

対応する辺から $\frac{CK}{BC}=\frac{DA}{BD}$、つまり $CK\times BD=BC\times DA$。

2 つを足す

得られた 2 つの等式を足します。

$$AK\times BD+CK\times BD=AB\times CD+BC\times DA$$

左辺は $(AK+CK)\times BD$ にまとめられます。K は AC の上にあるので $AK+CK=AC$。

$$AC\times BD=AB\times CD+BC\times DA$$

これで主張が出ました^[1]。補助線 1 本と相似 2 組だけで済みます。

例：長さを求める

円に内接する四角形で $AB=5$、$BC=6$、$CD=7$、$DA=8$、対角線 $AC=9$ とします。

トレミーの定理から $9\times BD=5\times 7+6\times 8=35+48=83$。

$BD=\frac{83}{9}\approx 9.22$ です。5 つの長さが分かれば残る 1 つが割り算 1 回で出ます。

例：正三角形と円

正三角形 ABC の外接円の弧 BC 上に点 P をとります。四角形 ABPC にトレミーの定理を当てる。

$AP\times BC=AB\times PC+AC\times PB$。正三角形なので $AB=AC=BC$ で、辺の長さを $a$ と書けば全部で割れます。

$$AP=PB+PC$$

弧の上のどこに P をとっても、遠い頂点までの距離が近い 2 頂点までの距離の和になる。きれいな結論です。

例：長方形なら三平方の定理

長方形は必ず円に内接します。トレミーの定理を当ててみます。

$AB=CD=a$、$BC=DA=b$、対角線はどちらも $c$ で等しい。代入すると次の形になります。

$$c^2=a^2+b^2$$

三平方の定理が出てきました。トレミーの定理は、三平方の定理を四角形へ広げた形とも見られます。

内接しない四角形では

4 点が同一円周上にないとき、等号は不等号に変わります。対角線の積のほうが小さくなる。

$$AC\times BD\le AB\times CD+BC\times DA$$

等号が成り立つのは、4 点が同一円周上にあって、しかもこの順に並んでいるときだけです^[2]。

だから逆向きにも使えます。等式が成り立つと確かめられれば、4 点が同一円周上にあると言える。

例：正五角形と黄金比

正五角形の頂点 4 つで四角形を作ります。辺が 3 本と対角線が 1 本、対角線が 2 本という形になる。

辺の長さを $a$、対角線を $p$ とすると、トレミーの定理は $p^2=a^2+ap$ になります。

両辺を $a^2$ で割ると ${\left(\frac{p}{a}\right)}^2=1+\frac{p}{a}$。$x=\frac{p}{a}$ と置けば $x^2=x+1$。

これは黄金比の方程式です。正五角形の対角線と辺の比が黄金比になる^[3]。

つまずきやすいところ

補助線 1 本と相似 2 組。仕組みが分かると、覚える式が 1 本に減ります。

参考文献