共通外接線と共通内接線で長さがずれるのはどうしてか？

2 円の共通接線について、接点から接点までの長さを求めます。外接線と内接線で式が変わります。

外接線の長さは次の形です。

$d^{2} - (r - r^{'})^{2}$

内接線では根号の中が変わります。

$d^{2} - (r + r^{'})^{2}$

差か和かの 1 文字だけが違う。この違いは、2 本の半径が同じ向きを向くか反対を向くかから来ます^[1]。

どちらも直角三角形を 1 つ作れば出ます。

外接線は差が脚になる

大きい円の中心を O、半径を $r$ 、小さい円の中心を $O^{'}$ 、半径を $r^{'}$ とします。外接線の接点を T、 $T^{'}$ とします。

$O T$ と $O^{'} T^{'}$ はどちらも接線に垂直なので、2 本は平行です^[3]。しかも同じ向きを向いている。

$O^{'}$ を通り接線に平行な直線を引き、 $O T$ との交点を H とします。四角形 $H T T^{'} O^{'}$ は長方形になる。

だから $H T = O^{'} T^{'} = r^{'}$ で、 $O H = r - r^{'}$ 。 $H O^{'} = T T^{'}$ です。

canvas: 絵を作れませんでした

三平方の定理で締める

三角形 $O H O^{'}$ は角 H が直角です。斜辺が $O O^{'} = d$ 、1 つの脚が $r - r^{'}$ 。ここで三平方の定理を当てます^[2]。

$T T^{'} = H O^{'} = d^{2} - (r - r^{'})^{2}$

半径が等しい場合は $r - r^{'} = 0$ になり、 $T T^{'} = d$ 。2 円が同じ大きさなら、外接線の長さは中心間の距離そのものです。

図でも確かめられます。半径が等しいと接線が中心線と平行になり、長方形の 1 辺として $d$ がそのまま現れる。

内接線は和が脚になる

内接線では、2 本の半径が接線をはさんで反対向きを向きます。同じ平行線を引くと、脚の長さが $r + r^{'}$ に変わる。

$S S^{'} = d^{2} - (r + r^{'})^{2}$

根号の中が小さくなるので、内接線は外接線より必ず短い。差が和に変わったぶんだけ縮みます。

canvas: 絵を作れませんでした

なぜ差と和が入れかわるか

外接線では、2 円が同じ側にあります。半径を接線に垂直に立てると、2 本は同じ向きを向く。長さの差だけが中心線からのずれになります。

内接線では、2 円が接線をはさんで反対側にあります。半径は逆向きに立つので、ずれは長さの和になる。

向きがそろうか逆かで、引くか足すかが決まります。図で半径の矢印を描いてみると一目で分かる。

外接線

2 本の半径が同じ向き。ずれは $r - r^{'}$

内接線

2 本の半径が反対向き。ずれは $r + r^{'}$

存在する条件

根号の中が正でなければ長さは出ません。外接線は $d > r - r^{'}$ のとき、内接線は $d > r + r^{'}$ のときに引けます。

外接線が引けなくなるのは内接するか内側に入ったとき。内接線が引けなくなるのは、2 円が交わったときです。

$d = r - r^{'}$ のとき外接線の長さは $0$ 。接点が重なっている状態です。 $d = r + r^{'}$ のときも同じで、内接線の長さが $0$ になります。

長さが $0$ に近づく過程が、接線が消える瞬間にあたる。5 つの場合分けと、この式がつながっています。

canvas: 置き場が受け取りませんでした

例：長さを計算する

半径 $6$ と $2$ 、中心間の距離が $10$ とします。差は $4$ 、和は $8$ 。どちらも $10$ より小さいので、外接線も内接線も引けます。

外接線は $100 - 16 = 84 \approx 9.17$ 。内接線は $100 - 64 = 36 = 6$ 。

内接線のほうが短くなりました。同じ 2 円でも、はさむかはさまないかで $3$ 以上の差が出ます。

例：半径が等しいとき

半径がどちらも $4$ 、中心間の距離が $10$ とします。外接線は $100 - 0 = 10$ で、中心間の距離と同じ。

内接線は $100 - 64 = 6$ です。外接線は中心線と平行になり、内接線は中心線と交わります。

半径が等しい 2 円では、2 本の内接線が中心線の中点で交わる。対称性から、その点が相似の中心になります。

半径が等しいとき、外接線の長さは中心間の距離そのものになります。

$r - r^{'} = 0$ で根号の中が $d^{2}$ だけになるため。長方形の 1 辺として $d$ がそのまま現れます。

例：接線の長さから距離を出す

半径 $9$ と $4$ の 2 円があり、共通外接線の長さが $12$ と分かっているとします。

$1 2^{2} = d^{2} - (9 - 4)^{2}$ から $144 = d^{2} - 25$ 、 $d^{2} = 169$ で $d = 13$ 。

内接線の長さも出ます。 $169 - 169 = 0$ 。和が $13$ でちょうど $d$ に等しいので、2 円は外接しています。

外接線の長さから位置関係まで分かる。式を逆向きに使う練習になります。

半径 $5$ と $2$ の 2 円があり、中心間の距離が $25$ です。共通内接線の長さはいくつですか。

$25$
$24$
$616$

__RESULT__

和は $5 + 2 = 7$ なので $2 5^{2} - 7^{2} = 625 - 49 = 576 = 24$ です。差の $3$ を使ってしまうと $616$ になり、これは外接線の長さにあたります。 $25$ は中心間の距離そのものです。

検算のしかた

出した長さ $t$ を 2 乗し、使った脚の 2 乗を足して $d^{2}$ に戻るかを見ます。 $2 4^{2} + 7^{2} = 576 + 49 = 625 = 2 5^{2}$ 。合いました。

もう 1 つは大小の向きです。内接線は必ず外接線より短く、どちらも $d$ を超えません。

$t$ が $d$ より長くなったら、脚を足し忘れているか、和と差を入れかえています。

参考文献

Circle-Circle Tangents. Wolfram MathWorld.

Euclid's *Elements*, Book I, Proposition 47. D. E. Joyce, Clark University.

Euclid's *Elements*, Book III, Proposition 17. D. E. Joyce, Clark University.

小さいほうの円の中心から接線に平行な線を引くと、長方形と直角三角形が現れます。斜辺は中心間の距離、脚は半径の差か和。外接線では 2 本の半径が同じ向きに立つので差、内接線では反対向きに立つので和になります。だから内接線は必ず外接線より短い。半径が等しいときは差が $0$ になり、外接線の長さが中心間の距離そのものになります。根号の中が正でなくなる境目が、接線の消える瞬間そのもの。長さから逆に距離を求める使い方まで。