2 つの円は近づくにつれて交わり方を変える〜共通接線の本数も動く
2 つの円の関係は、中心間の距離 と半径 、 の 3 つだけで決まります。位置は 5 通りに分かれ、共通接線の本数は 、、、、 と変わります。
図を描かなくても、 と 、 を比べれば分かる。境目がその 2 つの値です。
境目の値を先に決めておくと、判定は引き算だけで終わります。
5 つの場合
とし、中心間の距離を とします。 と を境目にして 5 つに分かれます。
なら中心が一致し、同心円になります。これは 5 番目に含まれる特別な場合です。
離れているときから近づけていくと、接線が 4 本、3 本、2 本、1 本、0 本と 1 本ずつ減っていく。順序がきれいに並びます。
共通接線の 2 種類
2 円の両方に接する直線を共通接線と呼びます。2 つの円が接線の同じ側にあるか、反対側にあるかで名前が分かれます。
同じ側にあるものが共通外接線。中心を結ぶ線分と交わりません。
反対側にあるものが共通内接線。中心を結ぶ線分と必ず交わります。この交点は、2 円の相似の中心にあたります[1]。
離れているときは外接線 2 本と内接線 2 本で 4 本。交わっているときは内接線が消えて外接線 2 本だけになります。
例：判定する
半径 と の円があり、中心間の距離が とします。和は 、差は 。
なので互いに外側で離れています。共通接線は 4 本。
距離を にすると外接し、接線は 3 本。 にすると なので 2 点で交わり、接線は 2 本になります。
距離を にすると内接して 1 本、 にすると小さい円が中に入って 0 本です。
が より大きければ離れている。等しければ外接
が より小さければ内側にある。等しければ内接
接点は中心を結ぶ直線の上
外接するとき、接点は 2 つの中心を結ぶ線分の上にあります。内接するときは、その延長の上です。
理由は接線と半径の直交から出ます。接点で 2 つの円が同じ接線をもつので、2 本の半径がどちらもその接線と直交する。
同じ点から同じ直線に垂直な線は 1 本しか引けないので、2 本の半径は同じ直線の上に並びます[2,3]。だから中心と接点が一直線になる。
例：接する 2 円の半径を決める
半径 の円の内側に、中心から 離れた点を中心とする円を作り、内接させます。
内接の条件は なので から 。半径 の円が内接します。
外接させたいなら ですが、 を満たす正の はありません。内側にある点から外接する円は作れない。
中心の位置を先に決めると、接する半径は 1 つに定まります。
外接なら 、内接なら 。正になるほうだけが実際に作れます。
例：3 つの円が互いに接する
半径 、、 の円を互いに外接させます。中心を結ぶと三角形ができる。
その辺の長さは 、、。、、 の直角三角形です。
3 円の中心が作る三角形の辺は、半径の和になる。この見方で、円の配置の問題が三角形の問題に変わります。
半径 と の 2 つの円があり、中心間の距離が です。共通接線は何本ですか。
- 本
- 本
- 本
つまずきやすいところ
と と の 3 つを並べる。それだけで 5 つの場合が見分けられます。
参考
和は 11、差は 8−3=5 です。d=5 は差に等しいので内接しています。内接するときの共通接線は 1 本。d が差より小さければ 0 本、差と和のあいだなら 2 本になります。