解はいくつあるのか？指数方程式と対数方程式を交点で数える

$2^{x} = x + 2$ の解は 2 個です。1 つは $x = 2$ で、もう 1 つは $- 1.69$ あたりにあります。

片方は代入すれば見つかりますが、もう片方は式変形では出てきません。それでも個数は数えられる。

$y = 2^{x}$ と $y = x + 2$ を並べて描き、交わる回数を見るだけです^[1]。

方程式を 2 つのグラフに割る

$f (x) = g (x)$ という方程式は、 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ の交点を求める問題と同じものです。

交点の $x$ 座標が解。だから交点の個数が、解の個数になります。

割り方は 1 通りではありません。 $2^{x} - x - 2 = 0$ と見て $y = 2^{x} - x - 2$ の $x$ 軸との交点を数えてもよい。

扱いやすい 2 本に割るのがこつです。曲線 1 本と直線 1 本になる割り方が、いちばん見やすくなります。

定数を分離する

文字定数が入った方程式では、定数だけを片側に集めます。 $2^{x} - x = k$ の形にする。

こうすると片方が $y = 2^{x} - x$ という固定した曲線、もう片方が $y = k$ という水平線になります。

水平線を上下に動かして、曲線と何回交わるかを見るだけ。曲線は 1 本を描けば使いまわせます。

文字定数だけを片側に集める

定数でない側のグラフを 1 本描く

水平線を動かして交わる回数を数える

例：もっとも簡単な形

$2^{x} = k$ の解の個数を調べます。 $y = 2^{x}$ は正の値だけをとり、単調に増えます^[3]。

$k > 0$ なら水平線は必ず 1 回交わる。解は 1 個です。

$k \leq 0$ なら曲線は水平線より上にあり続け、交わりません。解は $0$ 個。

底が $\frac{1}{2}$ でも同じです。減る曲線に変わるだけで、交わる回数は変わりません。

例： $x^{2} = 2^{x}$ は 3 個

$y = x^{2}$ と $y = 2^{x}$ を並べます。 $x = 2$ で $4 = 4$ 、 $x = 4$ で $16 = 16$ と、2 つはすぐ見つかります。

負の側にもう 1 つあります。 $x = - 1$ では $1 < 2^{- 1} = 0.5$ が成り立たず、 $x^{2} = 1 > 0.5$ 。

$x = - 0.5$ では $x^{2} = 0.25$ 、 $2^{x} = 0.707$ で今度は逆転します。あいだのどこかで交わる。

3 つ目の解は $- 0.7667$ あたりです^[1]。手計算では出せませんが、あることは符号の変化から言えます。

代入で見つかる解

$x = 2$ と $x = 4$ 。整数を試せば当たる

グラフでしか分からない解

$x = - 0.7667$ あたり。存在と個数だけが言える

解を求めることと、解の個数を数えることは別の仕事です。後者はグラフだけでできます。

例：置きかえてから数える

$4^{x} - 2^{x + 1} + k = 0$ の解の個数を、 $k$ の値で分けます。

$t = 2^{x}$ 、 $t > 0$ と置くと $t^{2} - 2 t + k = 0$ です^[2]。 $x$ と $t$ は 1 対 1 に対応するので、正の解の個数を数えれば足ります。

$k$ を分離します。 $k = - t^{2} + 2 t = - (t - 1)^{2} + 1$ 。

$y = - (t - 1)^{2} + 1$ を $t > 0$ で描き、水平線 $y = k$ との交点を数える。頂点は $(1, 1)$ 、 $t = 0$ で $y = 0$ です。

$k > 1$ なら水平線は頂点より上を通り、交わりません。解は $0$ 個。

$k = 1$ なら頂点で 1 回だけ触れます。 $t = 1$ から $x = 0$ の 1 個。

$0 < k < 1$ なら 2 回交わり、どちらの $t$ も正です。解は 2 個。

$k \leq 0$ なら、交点の片方が $t \leq 0$ に落ちます。残るのは 1 個。

$t = 0$ の点を白丸にしておくと、 $k = 0$ のときに落とす解が目で分かります。

例：対数の場合

$lo g_{2} x = x - 2$ の解の個数を調べます。 $y = lo g_{2} x$ と $y = x - 2$ を並べる。

$x = 4$ で $lo g_{2} 4 = 2$ 、 $4 - 2 = 2$ 。1 つ見つかりました。

$0$ に近いところをみます。 $x = 0.1$ では $lo g_{2} 0.1 = - 3.32$ で $x - 2 = - 1.9$ 、曲線が下です。

$x = 1$ では $0$ と $- 1$ で曲線が上。上下が入れかわったので、 $0.1$ と $1$ のあいだに交点がもう 1 つあります。

$x = 4$ から先は直線が勝ち続けます。 $x = 8$ で $3$ と $6$ 、 $x = 16$ で $4$ と $14$ 。差は開くばかりで、追いつきません。

合わせて 2 個です。 $1$ と $4$ のあいだでは曲線が上のままなので、途中に交点はありません。

例：直線の傾きを動かす

$2^{x} = x + k$ で $k$ を動かすと、直線が上下に平行移動します。

$k$ が大きければ 2 回交わり、小さければ交わりません。ちょうど接する $k$ が境目です。

その境目はおよそ $k = 0.914$ 。この値を出すには接する条件、つまり微分が要ります^[3]。

数学 II の範囲では、接する場合を作らない問題が選ばれます。置きかえて二次関数にできる形なら、頂点の位置で境目が出るためです。

単調性で決まる場合

$2^{x} + x = 5$ の解は 1 個です。左辺は $x$ が増えるとつねに増えるので、同じ値を 2 回とりません。

増え続ける関数と水平線は、多くても 1 回しか交わらない。実際、 $x = 1$ で $3$ 、 $x = 2$ で $6$ なので、あいだに 1 個あります。

グラフを描かなくても、単調かどうかを言えば個数が決まる場合があります。

増える関数どうしの和は増えます。 $2^{x}$ も $x$ も増えるので、 $2^{x} + x$ は単調に増える。

引き算では言えません。 $2^{x} - x$ は減ってから増えるので、交点が 2 個になることがあります。

固定した曲線と動く水平線。この形に持ち込めば、場合分けは水平線の高さだけの話になります。

$4^{x} - 2^{x + 1} + k = 0$ が異なる 2 個の解をもつ $k$ の範囲はどれですか。

$0 < k < 1$
$k < 1$
$k > 1$

__RESULT__

$t = 2^{x} > 0$ で $k = - (t - 1)^{2} + 1$ です。水平線が 2 回交わるのは頂点の $1$ より下で、かつ $t = 0$ での値 $0$ より上のとき。 $0 < k < 1$ になります。

単調性で決まる形も確かめます。

$3^{x} + 2 x = 7$ の実数解は何個ありますか。

1 個
2 個
0 個

__RESULT__

$3^{x}$ も $2 x$ も増える関数なので、和も増え続けます。同じ値を 2 回とらないため、水平線 $y = 7$ との交点は多くても 1 個。 $x = 1$ で $5$ 、 $x = 2$ で $13$ なので、あいだにちょうど 1 個あります。

参考

Cleve Moler. *A Famous Equation, x^2 = 2^x*. Cleve's Corner, MathWorks.

Exponential and Logarithmic Equations. MAT 206 Precalculus, Mathematics LibreTexts.

Exponentialfunktion. Wikipedia.

$2^x = x + 2$ の解は 2 個で、片方は $x = 2$、もう片方は $-1.69$ あたりにあります。後者は式変形では出てきませんが、$y = 2^x$ と $y = x+2$ を並べれば個数は数えられる。文字定数が入る問題では $k$ だけを片側に集め、固定した曲線と動く水平線の交点として見ます。$4^x - 2^{x+1} + k = 0$ なら $t = 2^x > 0$ で $k = -(t-1)^2 + 1$ となり、$k$ の位置で 0 個から 2 個まで分かれる。$x^2 = 2^x$ が 3 個になる理由、単調性だけで 1 個と言い切れる形まで。