対数の最大最小と二次関数への置きかえ（t = log x）

$y=({\log }_{2}x{)}^2-4{\log }_{2}x+1$ の最小値は $-3$ です。$1\le x\le 32$ のときの話。

$t={\log }_{2}x$ と置くと $y=t^2-4t+1$。見慣れた二次関数に変わります^[1]。

置きかえると二次関数の道具が使えます。かわりに、$t$ の動く範囲を自分で出す仕事が増えます。

対数を 1 つの文字にまとめる

$({\log }_{2}x{)}^2$ も ${\log }_{2}x$ も、${\log }_{2}x$ という 1 つのかたまりでできています。

このかたまりを $t$ と呼べば、式は $t$ だけの二次式になる。$x$ は表から消えます。

$$y=t^2-4t+1=(t-2{)}^2-3$$

平方完成すると、頂点が $t=2$ にあると分かります。下に凸なので、そこが最小の候補^[3]。

$t$ の動く範囲を出す

$x$ に範囲が付いていれば、$t$ にも範囲が移ります。$1\le x\le 32$ なら、${\log }_2$ を通して $0\le t\le 5$。

底が $1$ より大きいため、$x$ が増えると $t$ も増えます。両端がそのまま両端に対応する。

$x$ 側は $1$、$2$、$4$、$8$ と倍々に並び、$t$ 側は $0$、$1$、$2$、$3$ と等間隔に並びます。

手順

頂点が範囲の中にあれば、そこが最小か最大の一方になります。外にあれば、端の 2 つを比べるだけ^[4]。

例：頂点が範囲の中にある

冒頭の問題を最後まで解きます。$1\le x\le 32$、$t={\log }_{2}x$ で $0\le t\le 5$。

$y=(t-2{)}^2-3$ です。頂点の $t=2$ は範囲の中にあります。

下に凸なので、最小値は $t=2$ のとき $-3$。$x=2^2=4$ です。

最大値は端で決まります。$t=0$ で $y=1$、$t=5$ で $y=6$。遠いほうの端が勝ちます。

最大値は $6$ で、$x=32$ のとき。答えを $x$ に戻すところまでが仕事です。

例：範囲を狭めると頂点が外へ出る

$y=({\log }_{2}x{)}^2-{\log }_2{x}^4+5$ を $2\le x\le 16$ で考えます。

${\log }_2{x}^4=4{\log }_{2}x=4t$ です。$y=t^2-4t+5=(t-2{)}^2+1$。

$2\le x\le 16$ から $1\le t\le 4$。頂点の $t=2$ は範囲の中に入っています。

最小値は $1$ で $x=4$、最大値は $t=4$ のときの $5$ で $x=16$ です。

範囲を $8\le x\le 16$ に狭めると $3\le t\le 4$ になり、頂点が外へ出ます。このときは端だけを比べて、最小 $2$、最大 $5$。

区間が右へ動いて頂点をまたぐと、最小の位置が頂点から端へ移ります。

例：積の形

$y={\log }_{2}x\cdot {\log }_2\frac{8}{x}$ を $1\le x\le 8$ で考えます。

${\log }_2\frac{8}{x}=3-{\log }_{2}x$ なので、$t={\log }_{2}x$ と置くと $y=t(3-t)$。

$y=-t^2+3t=-(t-\frac{3}{2}{)}^2+\frac{9}{4}$ です。上に凸になりました。

$1\le x\le 8$ から $0\le t\le 3$。頂点の $t=\frac{3}{2}$ は中にあります。

最大値は $\frac{9}{4}$ で、$x=2^{3/2}=2\sqrt{2}$ のとき。最小値は両端とも $0$ で、$x=1$ と $x=8$ です。

上に凸なので、頂点が最大側にまわります。凸の向きを最初に確かめておくと迷いません。

例：定数が真数の中にある

$y={\log }_{2}x\cdot {\log }_2(4x)$ を $\frac{1}{4}\le x\le 8$ で考えます。

${\log }_2(4x)=2+{\log }_{2}x$ です。$t={\log }_{2}x$ で $y=t(2+t)=(t+1{)}^2-1$。

範囲は $-2\le t\le 3$。頂点の $t=-1$ は中にあります。

最小値は $-1$ で $x=2^{-1}=\frac{1}{2}$。最大値は $t=3$ のときの $15$ で、$x=8$ です。

真数の中の定数は、$t$ の式では定数項として外へ出てきます。

例：底が 1 より小さい

$y=({\log }_{1/2}x{)}^2+{\log }_{1/2}x$ を $\frac{1}{4}\le x\le 2$ で考えます。

$t={\log }_{1/2}x$ と置きます。底が $1$ より小さいため、$x$ が増えると $t$ は減る。

$x=\frac{1}{4}$ で $t=2$、$x=2$ で $t=-1$。範囲は $-1\le t\le 2$ です。

$y=t^2+t=(t+\frac{1}{2}{)}^2-\frac{1}{4}$。頂点は $t=-\frac{1}{2}$ で範囲の中。

最小値は $-\frac{1}{4}$ で、$t=-\frac{1}{2}$ から $x=(\frac{1}{2}{)}^{-1/2}=\sqrt{2}$。最大値は $t=2$ のときの $6$ で $x=\frac{1}{4}$ です。

端の対応が入れかわります。$x$ の左端が $t$ の右端になる。

底が $1$ より小さいときは、$x$ の区間の左右が $t$ では入れかわる。

範囲を書き写すのではなく、両端を 1 つずつ計算して並べ直すと間違えません。

例：底が違う対数が混ざる

$y=({\log }_{2}x{)}^2-{\log }_4{x}^6+2$ を $x>0$ で考えます。

${\log }_4{x}^6=6{\log }_{4}x=6\cdot \frac{{\log }_{2}x}{2}=3{\log }_{2}x$ です^[2]。

$t={\log }_{2}x$ で $y=t^2-3t+2=(t-\frac{3}{2}{)}^2-\frac{1}{4}$。

$x>0$ なので $t$ は実数全体を動きます。最小値は $-\frac{1}{4}$ で $x=2^{3/2}=2\sqrt{2}$。

最大値はありません。$t$ をいくらでも大きくできるので、$y$ も限りなく大きくなります。

例：逆数が現れる

$y={\log }_{2}x+{\log }_{x}2$ を $x>1$ で考えます。

${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$ です。$t={\log }_{2}x$ と置くと $y=t+\frac{1}{t}$。

$x>1$ から $t>0$。$t+\frac{1}{t}-2=\frac{(t-1{)}^2}{t}$ なので、$y\ge 2$ が言えます。

等号は $t=1$、つまり $x=2$ のとき。最小値は $2$ です。

二次関数にならない形でも、$t$ の式に直せば見通しが立ちます。

場合分けの全体像

頂点が区間のどこにあるかで、答えの決まり方が 3 通りに分かれます。

置いて、範囲を出して、平方完成する。この 3 手で、対数の最大最小はほとんど機械的に片づきます。

参考文献