指数不等式と底の大きさ：1 より小さいと不等号の向きが変わる

$(\frac{1}{2})^{3 x} > (\frac{1}{2})^{2 x + 3}$ の答えは $x < 3$ です。

指数を比べる段階で $3 x < 2 x + 3$ と書きます。左辺が大きいのに、指数のほうは小さい側になる^[1]。

底が $1$ より小さいと、こうなります。値が大きいほど指数は小さい。

底が向きを決める

$a > 1$ のとき、 $a^{x}$ は $x$ が増えると増えます。 $0 < a < 1$ のときは減ります^[3]。

$(\frac{1}{2})^{1} = 0.5$ 、 $(\frac{1}{2})^{2} = 0.25$ 、 $(\frac{1}{2})^{3} = 0.125$ 。指数が増えるほど値は小さい。

半分にする回数が増えるのだから、当然の動きです。かける数が $1$ より小さいため、かけるたびに縮む。

$x = - 1$ と $x = 1$ に置いた 2 点は、底が $1$ をまたぐたびに上下が入れかわります。

向きが変わる仕組み

$a^{p} > a^{q}$ が成り立つとき、 $p$ と $q$ の大小はどうなるか。

$a > 1$ なら値と指数が同じ向きに動くので、 $p > q$ です。

$0 < a < 1$ なら逆向きに動くので、 $p < q$ になります^[1]。

a > 1

のとき

$a^{p} > a^{q}$ から $p > q$ 。不等号はそのまま

0 < a < 1

のとき

$a^{p} > a^{q}$ から $p < q$ 。不等号をひっくり返す

$a = 1$ は底の条件から外れます。 $1^{p} = 1^{q}$ がいつでも成り立ち、大小が決まらないためです。

手順

両辺を同じ底の累乗にそろえる

底が $1$ より大きいか小さいかを見る

指数の不等式に直し、向きを決める

そろえる前に向きを決めないようにします。底が見えていない段階では、判断のしようがない。

例：底が 1 より小さい

$(\frac{1}{3})^{x} > \frac{1}{27}$ を解きます。右辺は $(\frac{1}{3})^{3}$ です。

底が $\frac{1}{3}$ で $1$ より小さいので、指数の不等号はひっくり返る。 $x < 3$ が答えです。

$0. 5^{x - 1} \leq 0.25$ なら、右辺は $0. 5^{2}$ 。向きを変えて $x - 1 \geq 2$ 、つまり $x \geq 3$ 。

$(\frac{2}{3})^{2 x} < (\frac{2}{3})^{x + 4}$ は $2 x > x + 4$ になり、 $x > 4$ です。

例：底が 1 より大きい

$2^{2 x + 3} > 2^{3 x}$ は、そのまま $2 x + 3 > 3 x$ で $x < 3$ ^[1]。

$3^{x^{2}} \leq 3^{2 x + 3}$ なら $x^{2} \leq 2 x + 3$ 。移項して $x^{2} - 2 x - 3 \leq 0$ 、 $(x - 3) (x + 1) \leq 0$ から $- 1 \leq x \leq 3$ です。

底が $1$ より大きいため、指数の不等式をそのまま解けば済みます。

不等式	底	指数の不等式
2 の 2x+3 乗 > 2 の 3x 乗	2	2x+3 > 3x
1/2 の 3x 乗 > 1/2 の 2x+3 乗	1/2	3x < 2x+3
0.5 の x-1 乗 <= 0.25	0.5	x-1 >= 2

例：底が違うときはそろえる

$4^{x + 2} > 8^{2 x}$ を解きます。 $4 = 2^{2}$ 、 $8 = 2^{3}$ なので、両方を $2$ の累乗に直す。

$2^{2 x + 4} > 2^{6 x}$ になり、底が $1$ より大きいので $2 x + 4 > 6 x$ 。答えは $x < 1$ です^[1]。

$(\frac{1}{9})^{x} < 2 7^{x - 1}$ なら、 $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ 、 $27 = 3^{3}$ 。

$3^{- 2 x} < 3^{3 x - 3}$ から $- 2 x < 3 x - 3$ 、 $3 < 5 x$ 、 $x > \frac{3}{5}$ 。

底をそろえた時点で、底は $3$ になっています。 $\frac{1}{9}$ のままだと向きを間違えやすい。

小さい底を大きい底に書き直す

$(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ です。底を $1$ より大きい数に直せば、向きを気にせずに済みます。

$(\frac{1}{2})^{3 x} > (\frac{1}{2})^{2 x + 3}$ を書き直すと $2^{- 3 x} > 2^{- 2 x - 3}$ 。

そのまま $- 3 x > - 2 x - 3$ を解いて、 $- x > - 3$ 、 $x < 3$ 。同じ答えに着きます。

向きを判断する回数を減らせるため、慣れないうちはこちらのほうが安全です。

例：置きかえて解く

$2^{x} + 4^{x} > 6$ を解きます。 $4^{x} = (2^{x})^{2}$ なので、 $t = 2^{x}$ と置く。

$t + t^{2} > 6$ から $t^{2} + t - 6 > 0$ 、 $(t + 3) (t - 2) > 0$ です^[1]。

$t = 2^{x}$ はいつでも正なので、 $t > - 3$ は自動的にみたされます。残るのは $t > 2$ 。

$2^{x} > 2$ から $x > 1$ が答えです。置きかえたときは $t > 0$ を書き添えておきます。

例：底が小さい形で置きかえる

$(\frac{1}{4})^{x} - 3 \cdot (\frac{1}{2})^{x} + 2 < 0$ を解きます。

$t = (\frac{1}{2})^{x}$ と置くと、 $(\frac{1}{4})^{x} = t^{2}$ です。

$t^{2} - 3 t + 2 < 0$ から $(t - 1) (t - 2) < 0$ 、つまり $1 < t < 2$ 。

$t = (\frac{1}{2})^{x}$ に戻します。底が $1$ より小さいので向きが変わり、 $- 1 < x < 0$ が答えです。

置きかえのあとで戻すときにも、同じ判断が必要です。向きを 2 度決めることになります。

例：はさまれた形

$(\frac{1}{2})^{x + 2} < 8 < (\frac{1}{4})^{2 x}$ を解きます^[1]。

左側は $2^{- (x + 2)} < 2^{3}$ で、 $- (x + 2) < 3$ から $x > - 5$ 。

右側は $2^{3} < 2^{- 4 x}$ で、 $3 < - 4 x$ から $x < - \frac{3}{4}$ 。

合わせて $- 5 < x < - \frac{3}{4}$ です。2 つに分けてから共通部分をとります。

対数を当てるときも同じ

底をそろえられない不等式では、両辺に対数を当てます^[4]。 $2^{x} > 5$ なら $lo g_{2}$ を当てて $x > lo g_{2} 5$ 。

このとき使う対数の底が $1$ より小さいと、やはり向きが変わります^[2]。

$lo g_{1/2}$ を当てるなら $lo g_{1/2} 2^{x} < lo g_{1/2} 5$ 。うっかりすると符号を落とします。

底が $1$ より大きい対数を選んでおくと、向きの判断が 1 回で済みます。

底を見る。向きを決める。この順番を崩さなければ、符号のとり違えは起きません。

$(\frac{1}{5})^{2 x} \geq \frac{1}{125}$ の解はどれですか。

$x \leq \frac{3}{2}$
$x \geq \frac{3}{2}$
$x \leq 3$

__RESULT__

右辺は $(\frac{1}{5})^{3}$ です。底が $1$ より小さいので不等号を反転させて $2 x \leq 3$ となり、 $x \leq \frac{3}{2}$ になります。

$9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 < 0$ の解はどれですか。

$0 < x < 1$
$1 < x < 3$
$x < 0$ または $x > 1$

__RESULT__

$t = 3^{x}$ と置くと $t^{2} - 4 t + 3 < 0$ で $(t - 1) (t - 3) < 0$ 、つまり $1 < t < 3$ です。 $3^{0} = 1$ 、 $3^{1} = 3$ で底が $1$ より大きいので、そのまま $0 < x < 1$ になります。

参考文献

Exponential Inequalities. Brilliant Math & Science Wiki.

Logarithmic Inequalities. Brilliant Math & Science Wiki.

Graphs of Exponential Functions. College Algebra 2e, OpenStax.

Exponential and Logarithmic Equations. College Algebra 2e, OpenStax.

$\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^{3x} > \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^{2x+3}$ の答えは $x < 3$ です。左辺が大きいのに、指数のほうは $3x < 2x+3$ と小さい側になる。底が 1 より小さい指数関数は、指数が増えるほど値が減るため。$\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^x$ を $2^{-x}$ と書き直せば、向きを判断する場面そのものが消えます。底をそろえる手順、$t = 2^x$ と置いて戻すときに二度目の判断が要る形、8 をはさんだ連鎖不等式、対数を当てる道でも同じ反転が起きること。