対数の真数条件と底の条件、真数が正に限られる理由

$lo g_{2} (x^{2} - 3) = lo g_{2} (2 x)$ を解くと、 $x = 3$ と $x = - 1$ が出ます。

$x = - 1$ を戻すと $lo g_{2} (- 2) = lo g_{2} (- 2)$ 。両辺とも真数が負で、式そのものが成り立ちません^[1]。

答えは $x = 3$ だけ。計算が正しくても、最後に候補をしぼらないと解が多すぎる状態で終わります。

定義から出てくる 2 つの条件

$lo g_{a} M$ は「 $a$ を何乗すると $M$ になるか」への答えでした。この読み方が成立するために、条件が 2 つ付きます。

底の条件は $a > 0$ かつ $a \neq = 1$ 。真数の条件は $M > 0$ です^[3]。

どちらも定義のための約束ではなく、定義が壊れないための境界線。外すと答えが決まらないか、答えが存在しません。

真数が正になる理由

$a > 0$ のとき、 $a^{x}$ の値は必ず正です。指数をどれだけ大きな負の数にしても $0$ には届かない。

だから $a^{p} = M$ をみたす $p$ は、 $M$ が正のときだけ存在します。 $M = 0$ でも $M < 0$ でも、そんな $p$ はない。

値域が正の数だけなので、逆をたどれる真数も正の数だけになります。

底の条件

$a = 1$ を許すと、 $1^{x} = 1$ がどんな $x$ でも成り立ちます。 $lo g_{1} 1$ の答えが決まりません^[3]。

真数が $1$ 以外なら、今度は答えが 1 つもない。 $1^{x} = 5$ をみたす $x$ が存在しないためです。

$a$ が負だと、 $a^{x}$ が実数になる指数が飛び飛びにしか現れません。連続に逆をたどれないので、底からは外します。

$a = 0$ も同じで、 $0^{x}$ は正の $x$ でいつも $0$ 。逆をたどる相手になれません。

底に許される数

$0$ より大きく、 $1$ でない数。 $2$ 、 $10$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $e$ 、 $3$ など

底に許されない数

$1$ 、 $0$ 、負の数。答えが決まらないか、そもそも存在しない

例：定義域を求める

$lo g_{2} (x - 3)$ が意味を持つ範囲を出します。真数条件は $x - 3 > 0$ なので、 $x > 3$ 。

$lo g_{3} (5 - 2 x)$ なら $5 - 2 x > 0$ から $x < \frac{5}{2}$ です。

$lo g_{2} (x^{2} - 4)$ は $x^{2} - 4 > 0$ 。 $x < - 2$ または $x > 2$ に分かれます。

$lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 1)$ のように 2 つ並ぶときは、両方に条件が付く。 $x > 0$ かつ $x > 1$ で、まとめると $x > 1$ です。

条件が複数あるときは、最も厳しいものが残ります。

例：足すと条件がゆるむ

$lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 1)$ を $lo g_{2} (x (x - 1))$ にまとめます。計算としては正しい変形です。

ところが、まとめたあとの真数条件は $x (x - 1) > 0$ 。 $x < 0$ でも成り立ってしまいます。

もとの式では $x > 1$ が必要でした。まとめる操作が、こっそり定義域を広げています^[2]。

対数をまとめる変形は、もとの式では禁じられていた値を通してしまうことがあります。

広がったぶんが、あとで余分な解として現れる。だから条件はまとめる前の式から出します。

例：解を捨てる

$lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = 3$ を解きます。まとめると $lo g_{2} (x^{2} - 2 x) = 3$ 。

指数に戻して $x^{2} - 2 x = 8$ 、つまり $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ です。因数分解して $(x - 4) (x + 2) = 0$ 。

候補は $x = 4$ と $x = - 2$ になります。もとの式の条件は $x > 2$ でした^[2]。

$x = - 2$ は条件を外れるので捨てます。答えは $x = 4$ だけ。

例：解が 1 つも残らない

$lo g_{10} (4 - 3 x) = lo g_{10} (4 x - 7)$ を解きます。真数どうしを比べて $4 - 3 x = 4 x - 7$ 。

$11 = 7 x$ から $x = \frac{11}{7}$ です。ここまでは正しい。

戻して確かめます。 $4 - 3 \times \frac{11}{7} = - \frac{5}{7}$ で、負になりました^[2]。

もう一方も $4 \times \frac{11}{7} - 7 = - \frac{5}{7}$ 。どちらの真数も負なので、この方程式に解はありません。

候補が 1 つしかないときでも、確かめは必要です。

条件を出す順番

やり方は 2 つあります。先に定義域を出しておく道と、あとで候補を戻して確かめる道です。

先に出すほうが安全です。もとの式のまま条件を書けるので、変形でゆるんだ範囲に惑わされません。

もとの式から真数条件を書く

方程式を解いて候補を出す

条件をみたす候補だけを残す

あとで確かめる道でも答えは同じですが、戻す先はいつでも変形前の式にします。まとめたあとの式に戻すと、余分な解を見逃す。

例：不等式では向きも見る

$lo g_{2} (x - 1) < 3$ を解きます。まず真数条件で $x > 1$ 。

$3 = lo g_{2} 8$ なので、 $lo g_{2} (x - 1) < lo g_{2} 8$ 。底が $1$ より大きいので、真数どうしで $x - 1 < 8$ 。

$x < 9$ です。真数条件と合わせて $1 < x < 9$ になります。

真数条件を忘れると $x < 9$ だけが残り、 $x = 0$ のような値まで解に入ってしまう。

底に文字が入る場合

$lo g_{a} 8 = 3$ のように底が文字なら、底の条件も式に加わります。

$a > 0$ かつ $a \neq = 1$ 。この上で $a^{3} = 8$ を解いて $a = 2$ です。条件をみたすので採用します。

$lo g_{x - 1} 9 = 2$ なら、 $x - 1 > 0$ かつ $x - 1 \neq = 1$ 。つまり $x > 1$ かつ $x \neq = 2$ 。

$(x - 1)^{2} = 9$ から $x - 1 = \pm 3$ で、 $x = 4$ か $x = - 2$ 。条件から $x = 4$ だけが残ります。

例：底と真数の両方に文字

$lo g_{x} (2 x + 3) = 2$ を解きます。条件は $x > 0$ 、 $x \neq = 1$ 、 $2 x + 3 > 0$ 。

$2 x + 3 > 0$ は $x > - \frac{3}{2}$ なので、 $x > 0$ に吸収されます。残る条件は $x > 0$ かつ $x \neq = 1$ 。

指数に戻して $x^{2} = 2 x + 3$ 、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 、 $(x - 3) (x + 1) = 0$ 。

候補は $x = 3$ と $x = - 1$ です。 $x = - 1$ は底の条件を外れるので、答えは $x = 3$ 。

底が文字のときは、条件が 3 つに増えます。書き出してから解くと落としません。

条件を先に書き、あとで照らす。この 2 手で、対数の解答から余分な解が消えます。

$lo g_{3} (x - 1) + lo g_{3} (x - 3) = 1$ の解はどれですか。

$x = 4$ だけ
$x = 4$ と $x = 0$
解はない

__RESULT__

真数条件は $x > 3$ です。まとめて $lo g_{3} ((x - 1) (x - 3)) = 1$ から $(x - 1) (x - 3) = 3$ 、 $x^{2} - 4 x = 0$ となり候補は $x = 4$ と $x = 0$ 。条件をみたすのは $x = 4$ だけです。

$lo g_{x + 2} 16 = 4$ をみたす $x$ はどれですか。

$x = 0$
$x = 0$ と $x = - 4$
$x = 2$

__RESULT__

$(x + 2)^{4} = 16$ から $x + 2 = \pm 2$ で、候補は $x = 0$ と $x = - 4$ です。底の条件 $x + 2 > 0$ から $x = - 4$ は落ち、 $x = 0$ だけが残ります。

参考

Solving Logarithmic Equations. Intermediate Algebra, Salt Lake Community College.

Let's Learn Logarithmic Equations. Student Learning Center, Portland Community College.

Why Can't a Logarithm Have a Negative Base?. The Math Doctors.

$\log_2(x^2-3) = \log_2(2x)$ を解くと $x = 3$ と $x = -1$ が出ますが、後者を戻すと $\log_2(-2)$ になります。真数は正、底は正で 1 でない。この 2 つは約束ではなく、定義が壊れないための境界線です。対数をまとめる変形は定義域をこっそり広げるので、条件はまとめる前の式から書く。$\log_2 x + \log_2(x-2) = 3$ で $x = -2$ が落ちる理由、候補が 1 つでも解が残らない例、底に文字が入って条件が 3 つに増える形まで。