足して 2 を下回らない - 相加相乗平均で出す指数の最小値

$2^x+2^{-x}$ は、どんな実数 $x$ をとっても $2$ を下回りません。最小値は $x=0$ のときの $2$ です。

理由は 2 つの項の積にあります。$2^x\times 2^{-x}=2^0=1$。$x$ が動いても積は $1$ のまま。

積が固定されているとき、和がいちばん小さくなるのは 2 つが等しいときです^[1]。

相加平均と相乗平均

$a>0$、$b>0$ とします。次の不等式が成り立ちます^[2]。

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$

左辺が相加平均、右辺が相乗平均。等号が成り立つのは $a=b$ のときに限ります。

分母を払った形もよく使います。

$$a+b\ge 2\sqrt{ab}$$

$ab$ が定数なら、右辺も定数。和の下限がその場で分かります。

積が 1 のとき

$a=2^x$、$b=2^{-x}$ と置きます。どちらも正なので、不等式が使えます。

$ab=2^x\cdot 2^{-x}=2^0=1$ です。

$$2^x+2^{-x}\ge 2\sqrt{1}=2$$

等号は $2^x=2^{-x}$ のとき。指数を比べて $x=-x$、つまり $x=0$ です。

薄い 2 本が $2^x$ と $2^{-x}$、濃い 1 本がその和です。片方が伸びると片方が縮み、和は $2$ で下げ止まります。

使う前に確かめる 3 つ

相加相乗平均の関係は、条件がそろってはじめて最小値を与えます^[1]。

3 つ目を落とすと、下限は正しいのに最小値ではない、という答えになります。

例：積が定数になる形

$4^x+4^{-x}$ の最小値を出します。積は $4^0=1$ です。

$4^x+4^{-x}\ge 2\sqrt{1}=2$。等号は $4^x=4^{-x}$ から $x=0$。最小値は $2$ です。

$3^x+3^{-x}$ も $5^x+5^{-x}$ も同じで、底が何であっても最小値は $2$ になります。

底が変えるのは、谷の深さではなく谷の広がり方です。

例：係数が付く形

$2^x+8\cdot 2^{-x}$ の最小値を求めます。積は $2^x\times 8\cdot 2^{-x}=8$ で定数です。

$$2^x+8\cdot 2^{-x}\ge 2\sqrt{8}=4\sqrt{2}$$

等号は $2^x=8\cdot 2^{-x}$ のとき。両辺に $2^x$ を掛けて $2^{2x}=8$、$2x=3$ から $x=\frac{3}{2}$。

$4\sqrt{2}=5.657$ が最小値です。等号が成り立つ $x$ が実在するので、下限がそのまま最小値になります。

例：定数を作りにいく

$9^x+\frac{1}{4^x}$ では積が $(\frac{9}{4}{)}^x$ で、定数になりません。

このままでは相加相乗平均の関係が使えない。定数にならない組み合わせでは、下限が $x$ によって動いてしまいます。

こういう形は置きかえや微分で扱います。積が定数かどうかを最初に見るのは、そのためです。

例：等号が届かない場合

$2^x+2^{-x}$ を $x\ge 1$ の範囲で考えます。相加相乗平均の関係からは $2$ 以上と分かります。

ところが等号の条件は $x=0$ で、範囲の外です^[2]。$2$ という値は実現しません。

実際の最小値は $x=1$ のとき。$2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ です。

$t=2^x$ と置くと $t\ge 2$ で、$y=t+\frac{1}{t}$ はこの範囲で増え続けます。端が最小になる。

下限と最小値は別のものです。等号の確認を省くと、この違いが見えなくなります。

例：置きかえと組み合わせる

$9^x+9^{-x}-4(3^x+3^{-x})$ の最小値を出します。

$s=3^x+3^{-x}$ と置きます。相加相乗平均の関係から $s\ge 2$ です。

$s^2=9^x+2+9^{-x}$ なので、$9^x+9^{-x}=s^2-2$。

もとの式は $s^2-2-4s=(s-2{)}^2-6$ になります。

$s\ge 2$ で頂点が端に来るので、最小値は $-6$。$s=2$ から $x=0$ です。

相加相乗平均の関係が、置きかえた文字の範囲を作っています。

図で見る相加相乗平均

長さ $a$ と $b$ を一直線に並べ、$a+b$ を直径とする半円を描きます^[3]。

半径は $\frac{a+b}{2}$ で相加平均。$a$ と $b$ の境目から立てた垂線が半円と交わる高さが $\sqrt{ab}$ で相乗平均です。

$a$ と $b$ が離れているほど、垂線は中心から遠ざかり短くなります。等しいときだけ中心に重なり、半径と同じ高さになる。

対数でも同じ形が出る

${\log }_{2}x+{\log }_{x}2$ を $x>1$ で考えます。${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$ です。

$t={\log }_{2}x$ と置くと $t>0$ で、式は $t+\frac{1}{t}$。積は $1$ で定数です。

$t+\frac{1}{t}\ge 2$ となり、等号は $t=1$、つまり $x=2$ のとき。最小値は $2$ です。

$0<x<1$ では $t<0$ になり、正の数という条件を外れます。この範囲では $t+\frac{1}{t}\le -2$ となって、最大値のほうが決まります。

平方完成でも出せる

相加相乗平均の関係を使わずに済ませることもできます。$t=2^x$ と置く道です。

$y=t+\frac{1}{t}$ で $t>0$。$y-2=\frac{t^2-2t+1}{t}=\frac{(t-1{)}^2}{t}$ になります。

分子は $0$ 以上、分母は正なので、$y-2\ge 0$。等号は $t=1$ のときです。

二次式の平方完成で頂点を出す手順と、やっていることは同じです^[4]。

どちらの道でも同じ結論に着きます。相加相乗平均の関係は、この計算を 1 行で済ませる近道です。

まちがえやすいところ

積が定数か、等号が届くか。この 2 つを確かめれば、相加相乗平均の関係は安全に使えます。

等号が届かない場合も確かめます。

出典