底が 1 より小さい対数不等式〜向きを変えてから定義域で削る

$lo g_{1/2} (3 x) > lo g_{1/2} (2 x + 3)$ の答えは $0 < x < 3$ です。

真数どうしを比べる段階で $3 x < 2 x + 3$ と向きが変わり、 $x < 3$ 。ここに真数条件の $x > 0$ が重なります^[1]。

向きの反転と定義域の削り。対数不等式では、この 2 つが同じ問題の中で同時に効いてきます。

底で向きが決まる

$a > 1$ のとき、 $lo g_{a} x$ は $x$ が増えると増えます。 $0 < a < 1$ のときは減る^[1]。

$lo g_{1/2} 2 = - 1$ 、 $lo g_{1/2} 4 = - 2$ 、 $lo g_{1/2} 8 = - 3$ 。真数が大きくなるほど値は小さい。

半分にする回数を数えているので、真数が大きいほど回数が増え、符号は下へ向かいます。

底を $1$ に近づけると、曲線はほとんど垂直に立ちます。 $1$ を通り過ぎた瞬間に、右上がりと右下がりが入れかわる。

不等式を解くときに使うのは、この向きです。

a > 1

のとき

$lo g_{a} M > lo g_{a} N$ から $M > N$ 。不等号はそのまま

0 < a < 1

のとき

$lo g_{a} M > lo g_{a} N$ から $M < N$ 。不等号をひっくり返す

どちらの場合も、真数がそれぞれ正であることは別に確かめます。

真数条件は先に書く

対数不等式には、指数不等式にはない仕事が 1 つ増えます。真数が正であることの確認です^[3]。

$lo g_{1/2} (3 x) > lo g_{1/2} (2 x + 3)$ なら、 $3 x > 0$ かつ $2 x + 3 > 0$ 。

$x > 0$ かつ $x > - \frac{3}{2}$ で、まとめると $x > 0$ 。この範囲の外では、そもそも式が意味を持ちません。

両辺の真数条件を書き出す

底を見て不等号の向きを決める

解いた範囲と真数条件の共通部分をとる

先に書いておくと、最後に共通部分をとるだけで終わります^[2]。あとから思い出す形にすると、落としやすい。

例：底が 1 より小さい

$lo g_{1/3} (x - 1) > 2$ を解きます。真数条件は $x > 1$ 。

右辺を対数に直します。 $2 = lo g_{1/3} (\frac{1}{9})$ です。

底が $1$ より小さいので向きが変わり、 $x - 1 < \frac{1}{9}$ 。つまり $x < \frac{10}{9}$ 。

真数条件と合わせて $1 < x < \frac{10}{9}$ が答えです。

例：もう 1 問

$lo g_{0.5} (2 x + 1) \geq - 3$ を解きます。真数条件は $2 x + 1 > 0$ 、つまり $x > - \frac{1}{2}$ 。

$- 3 = lo g_{0.5} 8$ なので、向きを変えて $2 x + 1 \leq 8$ 。 $x \leq \frac{7}{2}$ です。

合わせて $- \frac{1}{2} < x \leq \frac{7}{2}$ になります。

右端は等号を含み、左端は含まない。真数条件は等号を含まないので、境界の扱いが左右で変わります。

例：底が 1 より大きい場合と並べる

$lo g_{2} (2 x + 3) > lo g_{2} (3 x)$ なら、底が $1$ より大きいのでそのまま $2 x + 3 > 3 x$ 、 $x < 3$ ^[1]。

真数条件は $3 x > 0$ から $x > 0$ 。答えは $0 < x < 3$ です。

底を $\frac{1}{2}$ に替えると、真数の不等号だけがひっくり返ります。真数条件は底に関係なく同じ。

底	真数の不等号	真数条件
2	2x+3 > 3x	x > 0
1/2	2x+3 < 3x	x > 0

底が変えるのは向きだけで、定義域には手を出しません。この分業を覚えておくと混ざりません。

例：底が違うときはそろえる

$lo g_{2} (x + 1) > lo g_{4} x^{2}$ を解きます^[1]。

$lo g_{4} M = \frac{lo g _{2} M}{2}$ なので、左辺を $lo g_{4}$ にそろえます。 $lo g_{2} (x + 1) = lo g_{4} (x + 1)^{2}$ 。

真数条件は $x + 1 > 0$ かつ $x^{2} > 0$ 。つまり $x > - 1$ かつ $x \neq = 0$ 。

底が $4$ で $1$ より大きいので、 $(x + 1)^{2} > x^{2}$ 。展開して $2 x + 1 > 0$ から $x > - \frac{1}{2}$ 。

答えは $x > - \frac{1}{2}$ かつ $x \neq = 0$ です。

例：置きかえて解く

$(lo g_{2} x)^{2} + lo g_{2} x > 6$ を解きます。 $t = lo g_{2} x$ と置く^[1]。

$t^{2} + t - 6 > 0$ から $(t + 3) (t - 2) > 0$ 、 $t < - 3$ または $t > 2$ です。

$t = lo g_{2} x$ に戻します。 $lo g_{2} x > 2$ は $x > 4$ 。 $lo g_{2} x < - 3$ は $0 < x < \frac{1}{8}$ 。

真数条件の $x > 0$ は、下の範囲を書くときに効いています。答えは $0 < x < \frac{1}{8}$ または $x > 4$ 。

底が $2$ で $1$ より大きいので、戻すときに向きは変わりません。底が $\frac{1}{2}$ なら、ここで反転します。

例：定数を対数の形に直す

$lo g_{1/2} x \geq - 2$ のような形では、右辺を対数に直してから比べます。

$- 2 = lo g_{1/2} 4$ です。底が $1$ より小さいので向きを変えて $x \leq 4$ 。

真数条件の $x > 0$ と合わせて $0 < x \leq 4$ になります。

$lo g_{1/2} x \geq - 2$ を $x \geq (\frac{1}{2})^{- 2} = 4$ と書いてしまうと、範囲が上下に入れかわります。

例：底に文字が入る

$lo g_{a} 9 > 2$ をみたす $a$ の範囲を出します。底の条件は $a > 0$ かつ $a \neq = 1$ 。

$a > 1$ のとき、 $2 = lo g_{a} a^{2}$ なので $9 > a^{2}$ 。 $0 < a < 3$ と合わせて $1 < a < 3$ 。

$0 < a < 1$ のときは向きが変わり、 $9 < a^{2}$ 。 $a > 3$ となり、 $0 < a < 1$ と両立しません。

答えは $1 < a < 3$ です。底が文字のときは、 $1$ を境に 2 通り調べます。

例：両辺に対数を当てる

$3^{x} > 5$ のような指数不等式に、対数を当てて解くこともあります。

$lo g_{10}$ を当てると $x lo g_{10} 3 > lo g_{10} 5$ 。 $lo g_{10} 3 = 0.4771 > 0$ なので、割っても向きは変わりません。

$x > \frac{lo g _{10} 5}{lo g _{10} 3} = \frac{0.6990}{0.4771} = 1.465$ になります。

当てる対数の底が $1$ より小さいと、ここで向きが変わる。底が $1$ より大きい対数を選べば、判断が 1 回減ります。

例：対数が 2 つ並ぶ

$lo g_{1/3} x + lo g_{1/3} (x - 2) > - 1$ を解きます。真数条件は $x > 0$ かつ $x > 2$ で、 $x > 2$ 。

左辺をまとめて $lo g_{1/3} (x (x - 2)) > - 1$ 。右辺は $lo g_{1/3} 3$ です。

底が $1$ より小さいので向きが変わり、 $x (x - 2) < 3$ 。展開して $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 、 $(x - 3) (x + 1) < 0$ から $- 1 < x < 3$ 。

真数条件と重ねて $2 < x < 3$ が答えです。まとめる前の条件を使っている点が大事なところ。

例：両辺に対数が付かない形

$lo g_{1/2} (x^{2} - 3 x) \geq lo g_{1/2} (4 - 2 x)$ を解きます。

真数条件は $x^{2} - 3 x > 0$ かつ $4 - 2 x > 0$ 。前者は $x < 0$ または $x > 3$ 、後者は $x < 2$ 。

重ねると $x < 0$ です。この時点で、正の解はすべて消えました。

底が $1$ より小さいので $x^{2} - 3 x \leq 4 - 2 x$ 。移項して $x^{2} - x - 4 \leq 0$ 。

解の公式から $\frac{1 - 17}{2} \leq x \leq \frac{1 + 17}{2}$ です。 $17 = 4.12$ なので、およそ $- 1.56 \leq x \leq 2.56$ 。

$x < 0$ と重ねて、 $\frac{1 - 17}{2} \leq x < 0$ が答えになります。

真数条件を先に出しておくと、後半の計算量が減ります。

真数条件を先に書き、底を見て向きを決め、最後に重ねる。この 3 手が崩れなければ答えは合います。

$lo g_{1/2} (x - 1) > - 2$ の解はどれですか。

$1 < x < 5$
$x > 5$
$x > 1$

__RESULT__

真数条件は $x > 1$ です。 $- 2 = lo g_{1/2} 4$ なので、底が $1$ より小さいことから $x - 1 < 4$ となり $x < 5$ 。重ねて $1 < x < 5$ になります。

底に文字が入る形も確かめます。

$lo g_{a} 4 < 1$ をみたす $a$ の範囲はどれですか。

$a > 4$ だけ
$0 < a < 1$ または $a > 4$
$1 < a < 4$

__RESULT__

$a > 1$ なら $4 < a$ で $a > 4$ 。 $0 < a < 1$ なら向きが変わって $4 > a$ となり、これは $0 < a < 1$ の全体でみたされます。合わせて $0 < a < 1$ または $a > 4$ です。

参考

Logarithmic Inequalities. Brilliant Math & Science Wiki.

Résoudre une inéquation avec la fonction logarithme. Kartable.

Solving Logarithmic Equations. Intermediate Algebra, Salt Lake Community College.

$\log_{1/2}(3x) > \log_{1/2}(2x+3)$ の答えは $0 < x < 3$ です。真数どうしを比べる段階で $3x < 2x+3$ と向きが変わり、そこへ真数条件の $x > 0$ が重なる。底が決めるのは向きだけで、定義域には手を出しません。この分業がつかめると混ざらなくなる。定数を対数の形に直してから比べる理由、$t = \log_2 x$ と置いて戻すときの判断、$\log_a 9 > 2$ のように底が文字で 1 を境に場合分けが要る形、真数条件を先に書くと計算量が減る例まで。