3 乗根は負でもいいのに 4 乗根はだめ？累乗根の計算と有理化

$\sqrt[3]{8}=2$、$\sqrt[3]{-8}=-2$。3 乗根なら、中身が負でも実数のまま計算できます。

ところが $\sqrt[4]{-16}$ は実数の中にありません。4 乗して負になる実数がないためです。

$n$ が偶数か奇数か。この一点で、根の個数も、扱える数の範囲も変わる。

n 乗根の定義

$n$ を $2$ 以上の整数とします。$x^n=a$ をみたす $x$ を、$a$ の $n$ 乗根と呼びます^[1]。

$2$ 乗根が平方根、$3$ 乗根が立方根。まとめて累乗根といいます。

定義は「$n$ 乗すると $a$ になる数」であって、記号 $\sqrt[n]{a}$ そのものではありません。ここが混乱のもとになる。

実数解が何個あるかは、$y=x^n$ のグラフと横線 $y=a$ の交点を数えれば分かります。

偶数と奇数で分かれる

$n$ が偶数のとき、$y=x^n$ は下に凸で、$y$ 軸について対称です。値は $0$ 以上にしかなりません。

だから $a>0$ なら交点は $2$ 個、$a=0$ なら $1$ 個、$a<0$ なら $1$ つもない。

$n$ が奇数のとき、$y=x^n$ は単調に増えます。どんな実数 $a$ をとっても交点はちょうど $1$ 個^[2]。

偶数乗は符号を消してしまう。この一行が、上の表のすべてを生んでいます。

記号が指すものを 1 つに決める

$16$ の $4$ 乗根は $2$ と $-2$ の $2$ 個あります。記号 $\sqrt[4]{16}$ がどちらを指すのかは、決めておかないと通じません。

そこで次のように約束します^[1]。

$\sqrt[4]{16}=2$ であって、$-2$ は含みません。負のほうを指したいときは $-\sqrt[4]{16}$ と書く。

$\sqrt[3]{-27}=-3$ です。奇数乗根なら、負の数もそのまま根号の中に置けます。

例：値を求める

$\sqrt[3]{64}=4$ です。$4^3=64$ になるため。

$\sqrt[5]{32}=2$、$\sqrt[4]{81}=3$、$\sqrt[3]{-125}=-5$。どれも中身を素因数分解すると見えてきます。

$\sqrt[6]{-64}$ は実数にありません。$6$ が偶数で、中身が負だからです。

$0$ の $n$ 乗根はいつでも $0$ だけです。$\sqrt[n]{0}=0$ になります。

累乗根の性質

$a>0$、$b>0$ とし、$m$、$n$ を $2$ 以上の整数とします。次の等式が成り立ちます^[2,3]。

$$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$

$$(\sqrt[n]{a}{)}^m=\sqrt[n]{a^m},\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$$

根号の指数を同じ倍率で膨らませても値は変わりません。

$$\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[nk]{a^{mk}}$$

この 5 本で、教科書に出てくる累乗根の変形はほぼ足ります。

正の数という条件は外せない

条件の $a>0$、$b>0$ を落とすと、積の等式は壊れます^[3]。

$\sqrt{-4}\sqrt{-9}$ を $\sqrt{36}=6$ としたくなりますが、左辺は実数の範囲で値を持ちません。掛けてから根号に入れる、という順の入れかえが許されないため。

$\sqrt[3]{-8}$ なら $-\sqrt[3]{8}=-2$ と書き直せます。奇数乗根では符号が自由に出入りする。

例：性質を使って整理する

$\sqrt[3]{5}\sqrt[3]{25}$ は、中身を掛けて $\sqrt[3]{125}=5$ です。

$\frac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{3}}=\sqrt[4]{16}=2$ になります。

$\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2$。根号の重なりは、指数を掛け合わせて 1 つにまとめる。

$(\sqrt[5]{4}{)}^{10}=\sqrt[5]{4^{10}}=4^2=16$ です。

$\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{2}$ のように指数が違うときは、$6$ にそろえます。$\sqrt[6]{4}\sqrt[6]{2}=\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}$。

指数に直して約分する

根号のまま考えると手が止まる式も、$\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$ と書き直すと約分が見えます。

$\sqrt[9]{27}$ なら $27=3^3$ なので $3^{3/9}=3^{1/3}=\sqrt[3]{3}$ です。

$\sqrt[4]{100}=10^{2/4}=10^{1/2}=\sqrt{10}$ になります。

約分が効くのは、中身が指数の形に書けるときだけ。$\sqrt[6]{5}$ のように分解できない中身は、そのままの形が答えです。

分母の有理化

分母に累乗根があるときは、掛けたら根号が外れる相手を選びます。

$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ で考えます。$\sqrt[3]{2}$ をもう 1 回掛けても $\sqrt[3]{4}$ にしかならず、根号は残る。

$\sqrt[3]{4}$ を掛けると $\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2$ になります。中身の指数の和が $3$ に届いた瞬間、根号が外れる。

$$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$$

一般に、分母が $\sqrt[n]{a^m}$ の形なら $\sqrt[n]{a^{n-m}}$ を掛けます。指数の和が $n$ になるように選ぶ、というだけの話です^[4]。

例：有理化の練習

$\frac{1}{\sqrt[5]{9}}$ を直します。$9=3^2$ なので、足して $5$ になる $\sqrt[5]{3^3}=\sqrt[5]{27}$ を掛ける。

$$\frac{1}{\sqrt[5]{9}}=\frac{\sqrt[5]{27}}{3}$$

$\frac{2}{\sqrt[4]{8}}$ なら $8=2^3$ で、掛ける相手は $\sqrt[4]{2}$ です。

$$\frac{2}{\sqrt[4]{8}}=\frac{2\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{16}}=\frac{2\sqrt[4]{2}}{2}=\sqrt[4]{2}$$

$\frac{3}{\sqrt[3]{9}}$ は、$9=3^2$ なので $\sqrt[3]{3}$ を掛けて $\frac{3\sqrt[3]{3}}{3}=\sqrt[3]{3}$ になります。

例：3 乗根の差がある分母

$\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}$ のような分母では、掛ける相手が 1 つでは足りません。

$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ を使います。$x=\sqrt[3]{2}$、$y=1$ と置くと、$x^3=2$ で $y^3=1$。

分母分子に $x^2+xy+y^2=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$ を掛ける。

$$\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}=\frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{2-1}=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$$

平方根なら共役をとれば済みましたが、$3$ 乗根では因数分解の公式を持ち出すことになります。

例：累乗根を含む方程式

$x^3=5$ の実数解は $x=\sqrt[3]{5}$ の $1$ 個だけです。奇数乗なので、負の解も別の解も出てきません。

$x^4=5$ の実数解は $x=\pm \sqrt[4]{5}$ の $2$ 個。符号を落とすと半分失います。

$x^4=-5$ には実数解がありません。左辺が $0$ 以上にしかならないため。

$x^6=64$ なら $x=\pm 2$ です。$\sqrt[6]{64}=2$ と書けるのは正のほうだけで、解を答えるときは $\pm$ を付ける。

中身を素因数分解して外へ出す

$\sqrt[3]{54}$ は約分できませんが、中身を分解すると一部だけ外へ出せます。

$54=2\times 27=2\times 3^3$ なので、$3^3$ の部分が $3$ になって出ていく。

$$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{3^3\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$$

$n$ 乗の形でまとまった因数だけが外へ出ます。$3$ 乗根なら $3$ 個ひと組、$4$ 乗根なら $4$ 個ひと組。

組にならなかった因数は、根号の中に置いたままにします。

例：外へ出す練習

$\sqrt[3]{250}$ は $250=2\times 5^3$ なので $5\sqrt[3]{2}$ です。

$\sqrt[4]{162}$ なら $162=2\times 3^4$ で、答えは $3\sqrt[4]{2}$。

$\sqrt[3]{-24}$ は $-24=-(2^3\times 3)$ と見て $-2\sqrt[3]{3}$ になります。

$\sqrt[5]{96}=\sqrt[5]{2^5\cdot 3}=2\sqrt[5]{3}$ です。

$\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54}$ は、そのままでは足せません。$2\sqrt[3]{2}$ と $3\sqrt[3]{2}$ に直すと、根号の部分がそろって $5\sqrt[3]{2}$ になります。

平方根で $\sqrt{8}+\sqrt{18}=5\sqrt{2}$ とした手順と同じ形です。

文字が入ると絶対値が要る

$\sqrt{x^2}$ は $x$ ではありません。$x=-3$ を入れると、左辺は $3$ で右辺は $-3$ になります。

正しくは $\sqrt{x^2}=|x|$ です。偶数乗根が $0$ 以上の値しか返さないため。

$\sqrt[3]{x^3}=x$ のほうは、そのまま成り立ちます。奇数乗根は符号ごと通り抜ける。

$n$ が偶数なら $\sqrt[n]{x^n}=|x|$、$n$ が奇数なら $\sqrt[n]{x^n}=x$。指数と根号の指数が打ち消し合うように見えて、偶数のときだけ絶対値が残ります。

例：絶対値が付く場合の計算

$x<0$ のとき、$\sqrt{x^2}+\sqrt[3]{x^3}$ を簡単にします。

$\sqrt{x^2}=|x|=-x$ で、$\sqrt[3]{x^3}=x$。和は $-x+x=0$ です。

$x=-2$ で確かめます。$\sqrt{4}+\sqrt[3]{-8}=2-2=0$ になり、合っています。

$\sqrt[4]{(x-1{)}^4}$ は $|x-1|$ です。$x\ge 1$ なら $x-1$、$x<1$ なら $1-x$ に分かれます。

手順のまとめ

どの手順でも、最初にやることは中身の素因数分解です。

複素数まで広げると

実数の範囲では、$n$ が偶数なら $2$ 個、奇数なら $1$ 個でした。複素数まで広げると景色が変わります。

$0$ でない複素数の $n$ 乗根は、いつでもちょうど $n$ 個あります^[1]。

$1$ の $3$ 乗根なら $1$ と $\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$ の $3$ 個。$x^3=1$ を $(x-1)(x^2+x+1)=0$ と分解すれば出てきます。

$n$ 個の根は、複素平面の単位円を $n$ 等分した位置に並びます。実数として見えていたのは、そのうち実軸に乗ったものだけ。

記号 $\sqrt[n]{a}$ が値を $1$ つに定めるのは、$n$ 個のうち $1$ つを選ぶ約束を置いたからです。

方程式の解の個数も、同じ考え方で数えられます。

参考文献