小数第何位に初めて 0 でない数が現れるかを常用対数で出す

$(\frac{1}{3})^{20}$ は、小数第 $10$ 位に初めて $0$ でない数が現れます。その数字は $2$ です。

$lo g_{10} (\frac{1}{3})^{20} = - 20 \times 0.4771 = - 9.542$ 。これを $- 10 + 0.458$ と分けます。

整数部分の $- 10$ が位を、小数部分の $0.458$ が数字を教えます^[1]。

負の値を分けるときの約束

$- 9.542$ を $- 9 - 0.542$ と分けたくなりますが、それでは小数部分が負になります。

小数部分は $0$ 以上 $1$ 未満に保ちます。だから整数部分は小さいほうへ切り下げる。 $- 10$ です。

$- 9.542 = - 10 + 0.458$

$- 10$ と $0.458$ を足すと $- 9.542$ 。確かに戻ります。切り下げた $1$ を、小数部分が受けとる形です。

位が決まる仕組み

$lo g_{10} x = - n + f$ 、 $0 \leq f < 1$ とします。指数に戻すと $x = 1 0^{f} \times 1 0^{- n}$ 。

$1 \leq 1 0^{f} < 10$ なので、 $x$ は $1 0^{- n}$ 以上 $1 0^{- n + 1}$ 未満です。

$1 0^{- 10}$ は $0.0000000001$ で、 $1$ が小数第 $10$ 位にあります。 $x$ がこの範囲にいるなら、初めて $0$ でない数が現れるのも小数第 $10$ 位。

整数部分の絶対値が、そのまま位の番号になります^[2]。

$lo g_{10}$ の値を出す

整数部分を小さいほうへ切り下げる

整数部分の絶対値が求める位になる

例： $(\frac{1}{3})^{20}$

冒頭の計算をたどります。 $lo g_{10} \frac{1}{3} = - lo g_{10} 3 = - 0.4771$ 。

$20$ 倍して $- 9.542$ 。切り下げて $- 10 + 0.458$ です。

小数第 $10$ 位に初めて $0$ でない数が現れます。その数字は $1 0^{0.458}$ の整数部分。

$0.3010 < 0.458 < 0.4771$ なので $2$ です。実際の値は $2.868 \times 1 0^{- 10}$ 。

例： $(\frac{1}{2})^{50}$

$lo g_{10} \frac{1}{2} = - 0.3010$ で、 $50$ 倍すると $- 15.05$ 。

切り下げると $- 16 + 0.95$ です。 $- 15$ ではありません。小数部分を正に保つため、 $1$ つ下へ落とします。

小数第 $16$ 位に初めて $0$ でない数が出ます。小数部分の $0.95$ は $0.9031$ と $0.9542$ のあいだなので、数字は $8$ 。

実際は $8.882 \times 1 0^{- 16}$ で、合っています。

例： $0. 9^{100}$

$lo g_{10} 0.9 = lo g_{10} 9 - 1 = 0.9542 - 1 = - 0.0458$ です。

$100$ 倍して $- 4.58$ 。切り下げて $- 5 + 0.42$ になります。

小数第 $5$ 位に初めて $0$ でない数が現れ、その数字は $2$ 。 $0.3010 < 0.42 < 0.4771$ からです。

実際の $0. 9^{100} = 0.0000265 \dots$ で、 $0$ が 4 つ並んだあとに $2$ が来ます。

$1$ に近い数でも、 $100$ 回掛ければ小数第 $5$ 位まで落ちる。掛け算の効きめが見える例です。

桁数の問題と表裏になっている

大きい数では「整数部分に $1$ を足すと桁数」でした^[3]。小さい数では「整数部分の絶対値がそのまま位」になります。

$1$ を足すか足さないかが違うだけに見えますが、数え方の起点が違うためです。

桁数は $1$ の位から数え、小数の位は小数点のすぐ右から数える。あいだに $1$ 桁ぶんのずれが入ります。

$0$ を境に、目盛りの読み方が切りかわります。右側では $1$ を足し、左側では符号を外すだけ。

log の整数部分	数の大きさ	読み方
2	3 桁の数	桁数は 3
0	1 桁の数	桁数は 1
-1	0.1 台	小数第 1 位
-10	10 の -10 乗台	小数第 10 位

例：位と数字を同時に答える

$(\frac{2}{5})^{30}$ について、位と最初の数字を出します。

$lo g_{10} \frac{2}{5} = lo g_{10} 2 - lo g_{10} 5 = 0.3010 - 0.6990 = - 0.3980$ です^[4]。

$30$ 倍して $- 11.94$ 。切り下げて $- 12 + 0.06$ になります。

小数第 $12$ 位に初めて $0$ でない数が現れ、その数字は $1$ 。 $0.06 < 0.3010$ だからです。

実際の値は $1.153 \times 1 0^{- 12}$ 。位も数字も合っています。

$lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ と書けるので、 $lo g_{10} 2$ の値さえあれば $5$ の対数も出せる。

$5 = \frac{10}{2}$ だからです。 $4$ 、 $8$ 、 $20$ 、 $25$ なども $2$ と $3$ の対数から作れます。

底を素因数に分けてから当てはめる。この一手で、表になくても値が出せます。

例： $0$ が何個並ぶか

小数第 $n$ 位に初めて $0$ でない数が現れるなら、小数点のあとに並ぶ $0$ は $n - 1$ 個です^[1]。

$(\frac{1}{3})^{20}$ なら第 $10$ 位なので、 $0$ が $9$ 個並びます。

$0. 9^{100}$ は第 $5$ 位なので $0$ が 4 個。 $0.0000265$ と書けば、確かに 4 個です。

位の番号と $0$ の個数を混同しやすいところ。 $1$ だけずれます。

例：どこまで小さくすればよいか

$0. 8^{n}$ が初めて小数第 $4$ 位に食い込むのは、 $n$ がいくつのときか。

$lo g_{10} 0.8 = lo g_{10} 8 - 1 = 0.9031 - 1 = - 0.0969$ です。

小数第 $4$ 位になる条件は、 $lo g_{10} 0. 8^{n}$ の整数部分が $- 4$ になること。つまり $- 4 \leq - 0.0969 n < - 3$ 。

$30.9 < n \leq 41.2$ なので、 $n = 31$ で初めて第 $4$ 位になります。

$0. 8^{31} = 0.000980 \dots$ で、確かに小数第 $4$ 位。 $0. 8^{30} = 0.001238$ はまだ第 $3$ 位です。

例：分数の形で与えられる

$(\frac{3}{10})^{25}$ の位を求めます。 $lo g_{10} \frac{3}{10} = 0.4771 - 1 = - 0.5229$ です。

$25$ 倍して $- 13.0725$ 。切り下げて $- 14 + 0.9275$ になります。

小数第 $14$ 位に初めて $0$ でない数が現れ、その数字は $8$ 。 $0.9031 < 0.9275 < 0.9542$ からです。

分母が $10$ の累乗なら、対数は「分子の対数 $-$ 桁数」で書けます。計算が軽くなる形です。

例：位が変わるところをはさむ

$0. 6^{n}$ が小数第 $3$ 位に入るのは、 $n$ がどの範囲のときか。

$lo g_{10} 0.6 = lo g_{10} 6 - 1 = 0.7782 - 1 = - 0.2218$ です。

条件は $- 3 \leq - 0.2218 n < - 2$ 。両辺を $- 0.2218$ で割ると、向きが変わって $9.02 < n \leq 13.53$ 。

$n$ は整数なので $10$ から $13$ です。 $0. 6^{10} = 0.006047$ 、 $0. 6^{13} = 0.001306$ 。どちらも小数第 $3$ 位から始まっています。

$0. 6^{9} = 0.010078$ は第 $2$ 位、 $0. 6^{14} = 0.000784$ は第 $4$ 位。範囲の外に出ると位が動きます。

つまずきやすいところ

小数部分を負のままにする。0 以上 1 未満に保ちます。

位の番号と 0 の個数を同じにする。0 の個数は 1 だけ少なくなります。

整数部分に 1 を足して位を答える。足すのは桁数のほうです。

切り下げる。絶対値をとる。この 2 手で位が決まります。数字のほうは小数部分から読みます。

$lo g_{10} 2 = 0.3010$ とします。 $(\frac{1}{2})^{30}$ は小数第何位に初めて $0$ でない数が現れますか。

第 $9$ 位
第 $10$ 位
第 $11$ 位

__RESULT__

$- 30 \times 0.3010 = - 9.03$ です。切り下げて $- 10 + 0.97$ となるので、整数部分の絶対値から小数第 $10$ 位になります。

$0$ の個数を聞かれる形も確かめます。

$lo g_{10} 3 = 0.4771$ とします。 $(\frac{1}{3})^{15}$ の小数点のあとに並ぶ $0$ は何個ですか。

$8$ 個
$7$ 個
$6$ 個

__RESULT__

$- 15 \times 0.4771 = - 7.157$ で、切り下げると $- 8 + 0.843$ 。小数第 $8$ 位に初めて $0$ でない数が現れるので、それより手前の $0$ は $7$ 個です。

参考文献

Logarithms of Numbers less than 1 (negative characteristics). EduPadi Classroom.

Common Logarithm and Natural Logarithm. Math Only Math.

Number Length. Wolfram MathWorld.

Logarithmic Properties. College Algebra 2e, OpenStax.

$\bigl(\frac{1}{3}\bigr)^{20}$ は小数第 10 位に初めて 0 でない数が現れ、その数字は 2 です。$-20 \times 0.4771 = -9.542$ を $-10 + 0.458$ と分ける。切り下げて小数部分を 0 以上 1 未満に保つのが要で、$-9$ にすると位が 1 つずれます。整数部分の絶対値がそのまま位になり、小数部分が最初の数字を決める。大きい数では整数部分に 1 を足して桁数、こちらは絶対値をとるだけ。位の番号と 0 の個数が 1 ずれる理由、$0.8^n$ が第 4 位に入る $n$ の範囲まで。