累乗根の大小比較〜指数をそろえて中身だけを見る

$\sqrt{2}=1.41421\dots$、$\sqrt[3]{3}=1.44224\dots$。大きいのは $\sqrt[3]{3}$ のほうです。

小数に直さずに決められます。指数を $6$ にそろえると $\sqrt[6]{8}$ と $\sqrt[6]{9}$ になり、中身を見るだけで済む^[1]。

そろえる先は、根号の指数の最小公倍数です。

指数をそろえる

$\sqrt[n]{a}=\sqrt[nk]{a^k}$ が使えます。根号の指数を $k$ 倍するとき、中身も $k$ 乗する。

$\sqrt{2}$ の指数は $2$、$\sqrt[3]{3}$ の指数は $3$。最小公倍数は $6$ です。

$\sqrt{2}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}$、$\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}$。

指数がそろえば、あとは中身の大小がそのまま値の大小になります。$8<9$ なので $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$。

手順

やることは 3 つだけです。

中身が大きいほうが値も大きい。指数がそろっているときに限って言えることなので、そろえる前に比べないようにします。

例：2 つを比べる

$\sqrt[4]{3}$ と $\sqrt[6]{4}$。指数の最小公倍数は $12$ です。

$\sqrt[4]{3}=\sqrt[12]{3^3}=\sqrt[12]{27}$、$\sqrt[6]{4}=\sqrt[12]{4^2}=\sqrt[12]{16}$。

$27>16$ なので $\sqrt[4]{3}>\sqrt[6]{4}$ になります^[1]。

$\sqrt[4]{4}$ と $\sqrt[5]{5}$ なら、最小公倍数は $20$。$\sqrt[20]{4^5}=\sqrt[20]{1024}$ と $\sqrt[20]{5^4}=\sqrt[20]{625}$ です。

$1024>625$ で $\sqrt[4]{4}>\sqrt[5]{5}$。桁は増えますが、中身の勝負に持ち込めば迷いません。

例：3 つ以上を並べる

$\sqrt[3]{4}$、$\sqrt[6]{5}$、$\sqrt[4]{6}$ を小さい順に並べます。

指数は $3$、$6$、$4$。最小公倍数は $12$ です。

$\sqrt[3]{4}=\sqrt[12]{4^4}=\sqrt[12]{256}$、$\sqrt[6]{5}=\sqrt[12]{5^2}=\sqrt[12]{25}$、$\sqrt[4]{6}=\sqrt[12]{6^3}=\sqrt[12]{216}$。

中身は $25$、$216$、$256$。小さい順に $\sqrt[6]{5}$、$\sqrt[4]{6}$、$\sqrt[3]{4}$ となります^[1]。

いくつ並んでいても手順は変わりません。全部の指数の最小公倍数を 1 回で出す。

分数の指数で見ると同じこと

$\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$ と書き直すと、そろえる作業の正体が見えます。

$\sqrt{2}=2^{1/2}$、$\sqrt[3]{3}=3^{1/3}$。指数を通分して $2^{3/6}$ と $3^{2/6}$ です。

$(2^3{)}^{1/6}$ と $(3^2{)}^{1/6}$ なので、$6$ 分の $1$ 乗の中身を比べることになる。

根号の指数をそろえる作業は、分数の指数を通分する作業とまったく同じものです。

通分の分母が、そろえた根号の指数にあたる。どちらの記法でも手順は変わらない^[2]。

底か指数のどちらかがそろっているとき

$\sqrt[3]{5}$ と $\sqrt[3]{7}$ のように指数が同じなら、中身だけを見れば済みます。$5<7$ から $\sqrt[3]{5}<\sqrt[3]{7}$。

$\sqrt{5}$ と $\sqrt[3]{5}$ のように中身が同じなら、指数が小さいほうが大きい。$5>1$ のときに限ります。

$5^{1/2}$ と $5^{1/3}$ を比べるので、指数の $\frac{1}{2}>\frac{1}{3}$ がそのまま効く。底が $1$ より大きいからです。

中身が $1$ より小さいと向きが逆になります。$0.5^{1/2}<0.5^{1/3}$。

$1$ をまたぐと不等号がひっくり返る。累乗根の比較で最も多い誤りです。

累乗して比べる道もある

そろえる代わりに、両方を同じ数だけ累乗する手もあります。

$\sqrt{2}$ と $\sqrt[3]{3}$ を $6$ 乗します。$(\sqrt{2}{)}^6=2^3=8$、$(\sqrt[3]{3}{)}^6=3^2=9$。

どちらも正の数なので、$6$ 乗した大小がもとの大小と一致します。結果は同じ $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$。

正の数どうしなら、同じ正の指数で累乗しても順序は変わらない。この性質が両方の道を支えています。

最も大きい n 乗根

$\sqrt[n]{n}$ を $n=1$ から順に並べると、途中で折り返します。

$1$、$\sqrt{2}=1.4142$、$\sqrt[3]{3}=1.4422$、$\sqrt[4]{4}=1.4142$、$\sqrt[5]{5}=1.3797$。

$n=3$ が最大です。そのあとは $1$ に向かって下がっていきます^[3]。

$x$ を実数として $y=x^{1/x}$ を描くと、頂点は $x=e=2.718\dots$ にあります。最大値は $e^{1/e}=1.4447$ です^[3]。

整数は $e$ そのものになれないので、最も近い $3$ が勝つ。$2$ より $3$ のほうが $e$ に近いためです。

例：$\sqrt{2}$ と $\sqrt[3]{3}$ を手で確かめる

上のグラフを使わずに決めます。$6$ 乗して $8$ と $9$ を比べる、という先ほどの手順です。

$\sqrt[3]{3}$ と $\sqrt[4]{4}$ も比べておきます。最小公倍数は $12$。

$\sqrt[3]{3}=\sqrt[12]{3^4}=\sqrt[12]{81}$、$\sqrt[4]{4}=\sqrt[12]{4^3}=\sqrt[12]{64}$。

$81>64$ なので $\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}$。$3$ が頂点だという話と合っています。

なぜ大きい n では小さくなるのか

$\sqrt[n]{n}$ は、$n$ を $n$ 個に分けてかけ合わせたときの 1 個分にあたります。

$n$ が増えると、中身の $n$ も増えますが、割る回数のほうが速く増える。だから比は $1$ に近づきます。

$\sqrt[100]{100}=1.047$、$\sqrt[1000]{1000}=1.0069$。どんどん $1$ へ寄っていく。

大きい数の高い次数の根は、ほとんど $1$ です。この感覚があると、比較の見当が付けやすくなります。

例：文字が入る比較

$a>1$ のとき、$\sqrt[3]{a}$ と $\sqrt[4]{a}$ の大小を決めます。

指数を $12$ にそろえると $\sqrt[12]{a^4}$ と $\sqrt[12]{a^3}$。$a>1$ なら $a^4>a^3$ です。

だから $\sqrt[3]{a}>\sqrt[4]{a}$ になります。$0<a<1$ なら $a^4<a^3$ で、向きが逆になる。

$a=1$ のときは両方とも $1$ で等しい。文字が入る問題では、$1$ を境に場合分けが必要です。

例：和が入る比較

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ と $\sqrt{10}$ を比べます。根号の中を足し合わせることはできません。

両方とも正なので、$2$ 乗して比べます。左辺の $2$ 乗は $2+3+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}$。

右辺の $2$ 乗は $10$ です。$2\sqrt{6}$ と $5$ を比べることになる。

さらに $2$ 乗すると $24$ と $25$。$24<25$ なので $2\sqrt{6}<5$、したがって $\sqrt{2}+\sqrt{3}<\sqrt{10}$ です。

累乗して根号を減らす。和が入ったら、そろえるよりこちらが早い。

例：積と商の比較

$\sqrt[3]{2}\times \sqrt[6]{2}$ と $\sqrt{3}$ を比べます。左辺はまず 1 つにまとめる。

$2^{1/3}\times 2^{1/6}=2^{1/2}=\sqrt{2}$ です。あとは $\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ で、$\sqrt{2}<\sqrt{3}$。

$\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[3]{8}}$ なら、$\sqrt[4]{81}=3$、$\sqrt[3]{8}=2$ なので $\frac{3}{2}$ になります。

まとめられる形は先にまとめる。そろえる作業に入る前に、値が出てしまうこともあります。

使い分け

どの道を選んでも答えは同じです。式の形を見て、手数の少ない道を選びます。

対数に直すと割り算になる

指数をそろえる作業は、対数を使えば割り算 1 回で済みます。

$\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$ の常用対数をとると $\frac{{\log }_{10}a}{n}$。この値の大小が、そのまま累乗根の大小になります。

$\sqrt{2}$ なら $\frac{0.3010}{2}=0.1505$、$\sqrt[3]{3}$ なら $\frac{0.4771}{3}=0.1590$。あとの数が大きいため $\sqrt[3]{3}$ が勝ちます。

最小公倍数を出す手間が消えます。対数の値が手元にあるときは、こちらのほうが速い。

$\sqrt[n]{n}$ が $3$ で折り返すのも、$\frac{{\log }_{10}n}{n}$ の動きとして見えてきます^[3]。

出典