底をそろえないと並べられない、対数の大小比較と底の変換

$lo g_{2} 3$ と $lo g_{3} 5$ では、 $lo g_{2} 3$ のほうが大きい。 $1.585$ と $1.465$ です。

小数に直さずに決められます。 $\frac{3}{2}$ をあいだにはさむだけ。

$3 > 2^{3/2} = 2.828$ なので $lo g_{2} 3 > \frac{3}{2}$ 。 $5 < 3^{3/2} = 5.196$ なので $lo g_{3} 5 < \frac{3}{2}$ 。

底が同じなら真数を見る

$lo g_{2} 5$ と $lo g_{2} 7$ を比べます。底がそろっているので、真数の大小がそのまま移ります。

底が $1$ より大きいときは、真数が大きいほど値も大きい^[4]。 $5 < 7$ から $lo g_{2} 5 < lo g_{2} 7$ です。

底が $1$ より小さいと逆になります。 $lo g_{1/2} 5 > lo g_{1/2} 7$ 。半分にする回数が増えるので、値は下へ向かう。

真数が同じなら底を見る

$lo g_{2} 5$ と $lo g_{3} 5$ を比べます。真数がそろっている場合です。

$lo g_{2} 5 = 2.32$ 、 $lo g_{3} 5 = 1.465$ 。底が小さいほうが大きくなりました。

理由は素朴です。 $5$ に届くまで $2$ は何回も掛ける必要があり、 $3$ なら少ない回数で足りる。

真数が $1$ より小さいと向きが変わります。 $lo g_{2} 0.2 = - 2.32$ 、 $lo g_{3} 0.2 = - 1.465$ で、底が小さいほうが小さい。

底も真数も違うとき

どちらもそろっていない場合は、そろえにいきます。使うのは底の変換公式です^[2]。

$lo g_{a} M = \frac{lo g _{c} M}{lo g _{c} a}$

$c$ は $1$ でない正の数なら何でもよい。問題に出てくる数を選ぶと、計算が軽くなります。

$lo g_{4} 9$ を底 $2$ に直すと $\frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} 4} = \frac{2 lo g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3$ 。じつは同じ値でした。

底の変換公式で底をそろえる

そろわないときは 1 や 3/2 のような基準ではさむ

それでも決まらないなら指数の形に戻す

1 を境に振り分ける

こまかく比べる前に、 $1$ との大小で振り分けると手数が減ります^[1]。

底が $1$ より大きいとき、真数が底より大きければ値は $1$ を超えます。 $lo g_{2} 3 > 1$ 、 $lo g_{3} 2 < 1$ 。

$lo g_{2} 3$ と $lo g_{3} 2$ を比べるなら、これだけで決まります。前者が大きい。

$0$ との比較も同じ要領です。真数が $1$ より大きく底も $1$ より大きければ、値は正になります。

底	真数	値の符号
1 より大	1 より大	正
1 より大	1 より小	負
1 より小	1 より大	負
1 より小	1 より小	正

例： $\frac{3}{2}$ ではさむ

冒頭の $lo g_{2} 3$ と $lo g_{3} 5$ に戻ります。どちらも $1$ と $2$ のあいだにあるので、 $1$ では振り分けられません。

$\frac{3}{2}$ を試します。 $lo g_{2} 3$ と $\frac{3}{2}$ の比較は、 $3$ と $2^{3/2}$ の比較と同じこと。

$2^{3/2} = 22 = 2.828$ で $3 > 2.828$ なので、 $lo g_{2} 3 > \frac{3}{2}$ です。

$lo g_{3} 5$ のほうは、 $5$ と $3^{3/2} = 33 = 5.196$ の比較。 $5 < 5.196$ なので $lo g_{3} 5 < \frac{3}{2}$ 。

あいだに $\frac{3}{2}$ が入りました。 $lo g_{3} 5 < \frac{3}{2} < lo g_{2} 3$ です。

はさむ数は $\frac{1}{2}$ 刻みで試すと当たりやすい。 $1$ 、 $\frac{3}{2}$ 、 $2$ の順に当ててみます。

例：積が定数になる形

$lo g_{2} 3$ と $lo g_{3} 4$ を比べます。この 2 つには関係があります。

$lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 4 = lo g_{2} 4 = 2$

底の変換公式から、掛け合わせると中間の底が消えます^[3]。積は $2$ で固定です。

$lo g_{2} 3 > \frac{3}{2} > 2$ なので、相手は $\frac{2}{lo g _{2} 3} < \frac{2}{2} = 2$ 。

つまり $lo g_{3} 4 < 2 < lo g_{2} 3$ 。積が定数だと、片方の下限がもう片方の上限を生みます。

$lo g_{a} b \times lo g_{b} c = lo g_{a} c$ は、底の変換公式を掛け算の形に書き直したものです。

$lo g_{a} b \times lo g_{b} a = 1$ が特別な場合。逆数の関係になっている 2 つは、 $1$ をはさんで反対側にいます。

例：3 つ以上を並べる

$lo g_{2} 3$ 、 $lo g_{4} 9$ 、 $lo g_{8} 27$ を並べます。

$lo g_{4} 9 = \frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} 4} = \frac{2 lo g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3$ 。

$lo g_{8} 27 = \frac{lo g _{2} 27}{lo g _{2} 8} = \frac{3 lo g _{2} 3}{3} = lo g_{2} 3$ 。

3 つとも同じ値でした。底と真数を同じ倍率で累乗しても、値は変わりません。

$lo g_{a^{k}} M^{k} = lo g_{a} M$ が成り立つためです。見た目の違いに引きずられないようにします。

例：指数に戻して比べる

$lo g_{3} 7$ と $lo g_{5} 20$ を比べます。 $lo g_{3} 7 = a$ 、 $lo g_{5} 20 = b$ と置く。

$3^{a} = 7$ 、 $5^{b} = 20$ です。どちらも $1$ と $2$ のあいだにあります。 $3^{1} = 3 < 7 < 9 = 3^{2}$ 、 $5^{1} = 5 < 20 < 25 = 5^{2}$ 。

$\frac{3}{2}$ で振り分けます。 $3^{3/2} = 33 = 5.196 < 7$ なので $a > \frac{3}{2}$ 。

$5^{3/2} = 55 = 11.18 < 20$ なので $b > \frac{3}{2}$ 。まだ決まりません。

$\frac{7}{4}$ を試します。 $3^{7/4} = 6.84 < 7$ で $a > \frac{7}{4}$ 。 $5^{7/4} = 16.7 < 20$ で $b > \frac{7}{4}$ 。

$\frac{9}{5}$ では $3^{9/5} = 7.22 > 7$ となり $a < \frac{9}{5}$ 、 $5^{9/5} = 18.1 < 20$ で $b > \frac{9}{5}$ 。ここで決まりました。 $a < \frac{9}{5} < b$ です。

はさむ数を細かくしていく。実際の値は $a = 1.771$ 、 $b = 1.861$ で、確かに $b$ が大きい。

例：底が 1 より小さい

$lo g_{1/2} 3$ と $lo g_{1/2} 5$ を比べます。底がそろっているので真数を見ますが、向きが逆です。

$3 < 5$ なので $lo g_{1/2} 3 > lo g_{1/2} 5$ 。値は $- 1.585$ と $- 2.322$ で、確かに前者が大きい。

$lo g_{1/2} 3$ と $lo g_{2} 3$ を比べるなら、 $lo g_{1/2} 3 = - lo g_{2} 3$ を使います。

$lo g_{1/2} M = \frac{lo g _{2} M}{lo g _{2} ( 1/2 )} = \frac{lo g _{2} M}{- 1} = - lo g_{2} M$ です。符号が反転するだけ。

底が逆数の関係にある 2 つは、 $0$ をはさんで対称の位置にあります。

そろえる。振り分ける。はさむ。この 3 つの道具で、対数の大小はたいてい決まります。

$lo g_{3} 4$ と $lo g_{4} 8$ では、どちらが大きいですか。

$lo g_{3} 4$
$lo g_{4} 8$
等しい

__RESULT__

$lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4} = \frac{3}{2}$ です。 $lo g_{3} 4$ のほうは $3^{3/2} = 5.196 > 4$ から $\frac{3}{2}$ より小さくなります。あいだに $\frac{3}{2}$ が入り、 $lo g_{4} 8$ が大きいと決まります。

底の変換だけで片づく形も確かめます。

$lo g_{9} 25$ と等しいものはどれですか。

$lo g_{3} 5$
$lo g_{3} 25$
$2 lo g_{3} 5$

__RESULT__

$lo g_{9} 25 = \frac{lo g _{3} 25}{lo g _{3} 9} = \frac{2 lo g _{3} 5}{2} = lo g_{3} 5$ です。底と真数を同じ回数だけ累乗しても、対数の値は変わりません。

参考文献

Comparing Logarithms With Different Bases. The Math Doctors.

What is the "Change of Base Formula" (for logs)?. Purplemath.

Logarithmic Properties. College Algebra 2e, OpenStax.

Graphs of Logarithmic Functions. College Algebra 2e, OpenStax.

$\log_2 3$ と $\log_3 5$ の大小は、小数に直さなくても決まります。$3 > 2^{3/2}$ と $5 < 3^{3/2}$ から、あいだに $\frac{3}{2}$ が入る。底が同じなら真数を見て、真数が同じなら底の小さいほうが大きい。どちらもそろっていなければ底の変換公式でそろえます。$\log_4 9$ と $\log_2 3$ が同じ値になる理由、積が 2 に固定される $\log_2 3 \times \log_3 4$ の使い方、はさむ数を $\frac{3}{2}$、$\frac{7}{4}$、$\frac{9}{5}$ と細かくして分ける手順まで。