指数方程式の置きかえで落としやすい「t > 0」の条件

$4^{x} - 2^{x + 2} - 32 = 0$ を $t = 2^{x}$ と置くと、 $t^{2} - 4 t - 32 = 0$ になります。

因数分解して $(t - 8) (t + 4) = 0$ 。 $t = 8$ と $t = - 4$ が出ますが、後者は使えません^[2]。

$2^{x}$ はどんな $x$ でも正です。 $t > 0$ を書き添えていないと、ここで解が 1 つ増えます。

置きかえが効く形

$4^{x} = (2^{x})^{2}$ 、 $9^{x} = (3^{x})^{2}$ 。指数の底が 2 乗の関係にあるとき、置きかえで二次方程式になります^[1]。

$2^{x + 2} = 2^{x} \cdot 2^{2} = 4 \cdot 2^{x}$ のように、定数のかけ算に直せる項も同じ文字で書けます。

見分け方は単純です。すべての項が $2^{x}$ の累乗と定数で書けるかどうか。

$4^{x} - 2^{x + 2} - 32 = (2^{x})^{2} - 4 \cdot 2^{x} - 32$

$t$ に置きかえると $t^{2} - 4 t - 32$ 。見慣れた二次式に変わりました。

$t > 0$ という条件

$t = 2^{x}$ の値域は正の数全体です。 $x$ をどれだけ小さくしても $0$ には届かず、負にもなりません^[1]。

だから $t$ の方程式を解いたあと、 $0$ 以下の解は $x$ に戻せない。戻す道がないため捨てます^[3]。

$t = 8$ に対応する $x$ は 1 つだけあり、 $t = - 4$ には 1 つもありません。

手順

すべての項を同じ $a^{x}$ で書き直す

$t = a^{x}$ と置き、 $t > 0$ を書く

$t$ の方程式を解き、正の解だけを $x$ に戻す

$t > 0$ を先に書いておくと、最後に正の解を選ぶだけで終わります。

例：解が 1 つだけ残る

冒頭の $4^{x} - 2^{x + 2} - 32 = 0$ を最後まで解きます。 $t = 2^{x}$ 、 $t > 0$ 。

$t^{2} - 4 t - 32 = 0$ から $(t - 8) (t + 4) = 0$ で、 $t = 8$ または $t = - 4$ ^[2]。

$t > 0$ より $t = 8$ だけが残ります。 $2^{x} = 8$ から $x = 3$ 。

$t = - 4$ を捨てなければ、 $2^{x} = - 4$ という戻せない式が残ってしまいます。

例：解が 2 つとも残る

$9^{x} - 3^{x + 1} + 2 = 0$ を解きます。 $9^{x} = (3^{x})^{2}$ 、 $3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}$ です^[2]。

$t = 3^{x}$ 、 $t > 0$ と置くと $t^{2} - 3 t + 2 = 0$ 。 $(t - 1) (t - 2) = 0$ から $t = 1$ と $t = 2$ 。

どちらも正なので、両方が生き残ります。 $3^{x} = 1$ から $x = 0$ 、 $3^{x} = 2$ から $x = lo g_{3} 2$ 。

答えが対数の形になることもあります。 $lo g_{3} 2$ はこれ以上簡単になりません。

例：解の公式を使う

$2^{x} - 6 \cdot 2^{- x} = 6$ を解きます。 $2^{- x} = \frac{1}{2 ^{x}}$ なので、 $t = 2^{x}$ と置くと分数が現れる。

$t - \frac{6}{t} = 6$ の両辺に $t$ をかけます。 $t > 0$ なので、かけても向きや解は変わりません。

$t^{2} - 6 t - 6 = 0$ から $t = 3 \pm 15$ です^[2]。

$15 = 3.873$ なので $3 - 15 = - 0.873$ 。負なので捨てます。

残るのは $t = 3 + 15$ で、 $x = lo g_{2} (3 + 15)$ が答えです。

分数が出たときに両辺へ $t$ をかけられるのは、 $t$ が $0$ でないと分かっているからです。

$t > 0$ という条件が、こういう場面でも働いている。解を選ぶためだけの条件ではありません。

例：解が 1 つもない

$4^{x} + 2^{x} + 3 = 0$ を考えます。 $t = 2^{x}$ 、 $t > 0$ と置くと $t^{2} + t + 3 = 0$ 。

判別式は $1 - 12 = - 11$ で負。実数解がありません。

そもそも左辺は $t > 0$ の範囲でつねに正なので、 $0$ になりようがない。方程式に解はありません。

置きかえたあとで解が出ないことも、 $t > 0$ の範囲に解がないこともあります。

例： $4^{x} + 4^{- x}$ の形

$4^{x} + 4^{- x} = 3 (2^{x} + 2^{- x}) - 4$ を解きます。

$s = 2^{x} + 2^{- x}$ と置きます。両辺を 2 乗すると $s^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{- x}$ 。

つまり $4^{x} + 4^{- x} = s^{2} - 2$ です。もとの式は $s^{2} - 2 = 3 s - 4$ になります。

$s^{2} - 3 s + 2 = 0$ から $(s - 1) (s - 2) = 0$ 、 $s = 1$ または $s = 2$ 。

ここで $s$ の範囲を見ます。 $2^{x} > 0$ と $2^{- x} > 0$ の和なので、 $s \geq 2$ です。

$s = 1$ は範囲の外。 $s = 2$ から $2^{x} + 2^{- x} = 2$ となり、 $t = 2^{x}$ で $t^{2} - 2 t + 1 = 0$ 、 $t = 1$ 、 $x = 0$ 。

置く文字が変われば、書き添える条件も変わります。 $t > 0$ ではなく $s \geq 2$ でした。

置きかえた文字の範囲

何に置きかえたかで、付ける条件は変わります。まとめておきます。

置いた文字	範囲	理由
t = a の x 乗	t > 0	指数関数の値は正
s = a の x 乗 + a の -x 乗	s >= 2	正の数とその逆数の和
u = log 底 a の x	実数全体	対数の値域は実数全体

範囲を書かずに進めると、戻せない解を答えに混ぜてしまいます。

例：不等式でも同じ

$4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 < 0$ を解きます。 $t = 2^{x}$ 、 $t > 0$ 。

$t^{2} - 5 t + 4 < 0$ から $(t - 1) (t - 4) < 0$ 、 $1 < t < 4$ です。

$t > 0$ はすでにみたされています。 $1 < 2^{x} < 4$ から $0 < x < 2$ 。

不等式では、 $t$ の範囲と $t > 0$ の共通部分をとってから戻します。

例：底が 1 より小さい場合

$(\frac{1}{9})^{x} - 4 (\frac{1}{3})^{x} + 3 = 0$ を解きます。

$t = (\frac{1}{3})^{x}$ 、 $t > 0$ と置くと $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ 。 $(t - 1) (t - 3) = 0$ です。

$t = 1$ から $x = 0$ 。 $t = 3$ からは $(\frac{1}{3})^{x} = 3$ 、つまり $3^{- x} = 3^{1}$ で $x = - 1$ 。

方程式なので向きの心配はいりません。不等式に変わると、戻すときに反転します。

つまずきやすいところ

t = 0 を許してしまう。指数関数は 0 になりません。

2 の x+2 乗を 2 の x 乗 + 4 と書く。正しくは 4 倍です。

分数が出たときに t をかけてよい理由を確かめない。t > 0 だからかけられます。

和の形を置きかえたのに範囲を t > 0 のままにする。s は 2 以上になります。

置いたら範囲を書く。この一手間が、置きかえの誤りをほとんど消します。

$4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 4 = 0$ の解はどれですか。

$x = 2$ だけ
$x = 2$ と $x = 0$
解はない

__RESULT__

$t = 2^{x}$ と置くと $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ で $(t - 4) (t + 1) = 0$ 。 $t > 0$ から $t = 4$ だけが残り、 $2^{x} = 4$ で $x = 2$ です。

$s = 3^{x} + 3^{- x}$ と置いたとき、 $s$ のとりうる範囲はどれですか。

$s > 0$
$s \geq 2$
$s > 1$

__RESULT__

$3^{x}$ とその逆数の和なので、相加平均と相乗平均の関係から $s \geq 2 3^{x} \cdot 3^{- x} = 2$ です。等号は $3^{x} = 1$ 、つまり $x = 0$ のときに成り立ちます。

出典

Exponential and Logarithmic Equations. MAT 206 Precalculus, Mathematics LibreTexts.

How to Solve Exponential Equations. Analyze Math.

Exponential and Logarithmic Equations. College Algebra 2e, OpenStax.

$4^x - 2^{x+2} - 32 = 0$ に $t = 2^x$ を当てると $t^2 - 4t - 32 = 0$ になり、$t = 8$ と $t = -4$ が出ます。後者は戻せない。$2^x$ はどんな $x$ でも正なので、$t > 0$ を書き添えていないと解が 1 つ増えます。$9^x - 3^{x+1} + 2 = 0$ のように両方が残る形、$2^x - 6 \cdot 2^{-x} = 6$ で解の公式まで進む形、判別式が負で解が 1 つもない形。$s = 2^x + 2^{-x}$ と置くと、書き添える条件は $t > 0$ ではなく $s \geq 2$ に変わる。