分母が根号、分子がべき - 分数の指数の決め方と計算

$8^{2/3}=4$ です。分母の $3$ が $3$ 乗根、分子の $2$ が $2$ 乗を表します。

$\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$ でも、$(\sqrt[3]{8}{)}^2=2^2=4$ でも、同じ値に着きます。順番はどちらでもよい。

なぜこの値に決めたのか。決め方をたどると、底を正の数に限る理由まで見えてきます。

指数法則を残したまま広げる

$2^3=8$ のように、指数が自然数のときの意味ははっきりしています。同じ数を何回掛けるか、という回数だからです。

回数として読めるのは自然数まで。$2^0$ にも $2^{-1}$ にも $2^{1/2}$ にも、掛ける回数という読み方は当てはまりません。

そこで発想を変えます。意味から値を決めるのではなく、法則が壊れないように値を決める。

残したい法則は次の 3 本です^[4]。

$$a^r{a}^s=a^{r+s},(a^r{)}^s=a^{rs},(ab{)}^r=a^r{b}^r$$

この 3 本を保とうとすると、$0$ 乗も負の乗も分数の乗も、値が 1 つに絞られます。

$a^{1/n}$ が $n$ 乗根になる理由

$a>0$ とし、$a^{1/3}$ の値を決めます。まだ意味は与えていません。記号だけがある状態です。

法則 $(a^r{)}^s=a^{rs}$ を残すなら、$3$ 乗したときの値が決まります。

$$(a^{1/3}{)}^3=a^{(1/3)\times 3}=a^1=a$$

$3$ 乗して $a$ になる数。それは $a$ の $3$ 乗根です。$a>0$ なら正の $3$ 乗根がただ 1 つあるので、値も 1 つに決まります。

同じ議論が一般の $n$ でも通ります。$(a^{1/n}{)}^n=a$ なので、$a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ とするほかない^[1]。

選んだのではなく、法則から追い込まれた。ここが分数の指数の出どころです。

定義

$a>0$、$m$ を整数、$n$ を $2$ 以上の整数とします。

$$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$$

分母が根号の指数、分子がべきの指数。負の分子も許すので、$a^{-2/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}$ になります^[2]。

$0$ については $0^r=0$ と決めます。ただし $r>0$ のときに限る。

順番はどちらでもいい

$\sqrt[n]{a^m}$ と $(\sqrt[n]{a}{)}^m$ は同じ値です^[1]。

確かめます。$(\sqrt[n]{a}{)}^m$ を $n$ 乗すると、指数の掛け算で $((\sqrt[n]{a}{)}^n{)}^m=a^m$。

$n$ 乗して $a^m$ になる正の数は $\sqrt[n]{a^m}$ ただ 1 つなので、両者は一致します。

数値なら $3$ 乗根を先にとるほうが速い。$8^2=64$ を経由すると数が大きくなります^[1]。

文字式では逆で、先にべき乗して整理するほうが見通しがよくなることが多い。

例：値を求める

$4^{3/2}$ は $(\sqrt{4}{)}^3=2^3=8$ です。

$27^{2/3}=(\sqrt[3]{27}{)}^2=3^2=9$ になります。

$16^{3/4}=(\sqrt[4]{16}{)}^3=2^3=8$。

$32^{4/5}=(\sqrt[5]{32}{)}^4=2^4=16$ です。

$81^{-3/4}$ は分子が負なので、$\frac{1}{(\sqrt[4]{81}{)}^3}=\frac{1}{27}$ になります^[4]。

$(\frac{8}{27}{)}^{2/3}$ なら、分母と分子で別々に計算して $\frac{4}{9}$。

底を素因数分解してから当てはめると、暗算でも追えます。

約分しても値が変わらないこと

$\frac{2}{6}$ と $\frac{1}{3}$ は同じ数です。定義が使い物になるには、$a^{2/6}$ と $a^{1/3}$ が同じ値でなければならない。

$a>0$ なら成り立ちます。$\sqrt[6]{a^2}=\sqrt[6\times 1]{a^2}$ を約分の性質で $\sqrt[3]{a}$ に直せるためです。

前の節で見た $\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}$ が、ここで効いています。

底が負だと定義が壊れる

$a=-8$ で試します。$(-8{)}^{1/3}$ は $3$ 乗根なので $-2$ と読めます。

ところが $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ なので、$(-8{)}^{2/6}$ とも書けるはず。こちらは $\sqrt[6]{(-8{)}^2}=\sqrt[6]{64}=2$ になります。

$-2$ と $2$ の両方が出ました。同じ数を指す 2 つの書き方が、違う値を返している^[1]。

食い違う理由は、約分が偶数と奇数をまたぐところにあります。奇数乗根なら負を通せるのに、偶数乗根では通せない。

そこで底を正の数に限る、という約束を置きます。制限ではなく、値を 1 つに保つための代償です^[2,3]。

$\sqrt[3]{-8}$ と書くぶんには問題ありません。根号の記号なら $3$ 乗根だと明示されているので、読み方が分かれない。

例：指数法則で計算する

$2^{1/2}\times 2^{3/2}=2^2=4$ です。指数を足すだけ。

$\frac{5^{7/3}}{5^{1/3}}=5^2=25$ になります。

$(3^{2/5}{)}^{10}=3^4=81$。指数の掛け算です。

$(2^{1/2}\times 3^{1/2}{)}^2=2\times 3=6$ なので、$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$ が言えます。

$a^{1/2}{a}^{1/3}$ は $a^{1/2+1/3}=a^{5/6}=\sqrt[6]{a^5}$ です。通分してから根号に戻す。

例：底をそろえてから計算する

$4^{3/2}\times 8^{2/3}$ を求めます。底が違うので、まず $2$ にそろえる。

$4=2^2$、$8=2^3$ なので、$(2^2{)}^{3/2}=2^3$、$(2^3{)}^{2/3}=2^2$ になります。

$$4^{3/2}\times 8^{2/3}=2^3\times 2^2=2^5=32$$

$\frac{9^{3/4}}{3^{1/2}}$ も同じ手順です。$9=3^2$ なので $3^{3/2}÷3^{1/2}=3^1=3$。

底をそろえる。有理数乗の計算で最初に手をつけるのはたいていここです。

例：方程式を解く

$x^{2/3}=16$ を解きます。$x>0$ とし、両辺を $\frac{3}{2}$ 乗する。

左辺の指数は $\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}=1$ になり、$x$ だけが残ります。

$$x=16^{3/2}=(\sqrt{16}{)}^3=4^3=64$$

$x^{3/4}=27$ なら、両辺を $\frac{4}{3}$ 乗して $x=27^{4/3}=3^4=81$ です^[4]。

指数を打ち消す相手は、いつでも逆数。この 1 点だけ覚えていれば解けます。

例：文字式を整理する

$a>0$ として、$\sqrt{a}\sqrt[3]{a}\sqrt[6]{a}$ を 1 つにまとめます。

指数に直すと $a^{1/2}{a}^{1/3}{a}^{1/6}$。分母を $6$ にそろえて足すと $\frac{3+2+1}{6}=1$ になります。

答えは $a$ です。根号が 3 つ並んでいても、指数に直せば足し算で片づく。

$\frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt{a}}=a^{2/3-1/2}=a^{1/6}=\sqrt[6]{a}$ も同じ手順です。

指数に直す。底をそろえる。この 2 手で、有理数乗の計算はたいてい終わります。

底を正に限る理由も、もう一度確かめます。

出典