無理数乗の定義（2 のルート 2 乗は有理数乗のはさみうちで決まる）

$2^{\sqrt{2}}=2.665144\dots$ という値があります^[4]。

けれど $\sqrt{2}$ は分数で書けません。分母が根号の指数、分子がべきの指数、という読み方がそのままでは使えない。

指数が無理数のときだけ、値の決め方をもう一段作り直すことになります。

分数の読み方が届かない

$8^{2/3}$ なら、分母の $3$ から $3$ 乗根、分子の $2$ から $2$ 乗と読めました。指数が分数で書けているからです。

$\sqrt{2}=1.41421356\dots$ は、どんな整数の比でも表せません。$\sqrt{2}$ 乗根という操作も存在しない。

読み方を借りる先がないので、別の道を通します。近づけて決める、という道です。

有理数ではさみうちにする

$\sqrt{2}$ を小数で切ると、有理数が得られます。$1.4$、$1.41$、$1.414$、$1.4142$。どれも分数です。

切り捨てた値と切り上げた値で、$\sqrt{2}$ をはさめます。

$$1.4<\sqrt{2}<1.5,1.41<\sqrt{2}<1.42,1.414<\sqrt{2}<1.415$$

$2^x$ は $x$ が増えると増える関数です。だから指数のはさみうちが、そのまま値のはさみうちに移ります。

$$2^{1.4}<2^{\sqrt{2}}<2^{1.5}$$

左端と右端は有理数乗なので、すでに値が決まっています。$2^{1.4}=2^{7/5}=\sqrt[5]{2^7}$、$2^{1.5}=2\sqrt{2}$。

桁を増やすほど、はさむ幅は狭くなる。狭まっていく区間がただ 1 点に収束し、その点を $2^{\sqrt{2}}$ と呼びます^[1]。

数列の極限として定める

はさみうちを式にします。$\sqrt{2}$ に近づく有理数の列 $q_1,q_2,q_3,\dots$ をとる。

$$2^{\sqrt{2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }{2}^{q_n}$$

一般の底でも同じです。$a>0$ と実数 $r$ に対し、$r$ に収束する有理数列 $(q_n)$ をとって $a^r={\lim }_{n\to \infty }{a}^{q_n}$ と定めます^[1]。

$2^{\pi }$ なら $2^3$、$2^{3.1}$、$2^{3.14}$、$2^{3.141}$ と続く列の行き先です。

どの列でとっても同じ値になる

$\sqrt{2}$ に近づく有理数列は無数にあります。切り捨てで作った列、切り上げで作った列、上下に振れながら近づく列。

定義が意味を持つには、どの列を選んでも同じ行き先でなければならない。この点が保証されています^[1]。

この保証があるので、どの近づけ方を選んでも答えは一致します。切り捨てでも切り上げでも同じ。

単調性がはさみうちを支えている

なぜ収束するのか。$a>1$ のとき、$a^x$ が単調に増えることが効いています^[3]。

有理数 $p<q$ なら $a^p<a^q$。だから切り捨ての列は増えながら上から押さえられ、切り上げの列は減りながら下から支えられます。

増える列が上に有界なら収束する。実数の連続性が、行き先の存在を保証しています。

$0<a<1$ なら不等号が全部ひっくり返るだけで、筋は同じです。$a=1$ はいつでも $1$。

底が負だと極限が定まらない

$a=-2$ で同じことをしてみます。$(-2{)}^{1/3}=-2^{1/3}$ は計算できますが、$(-2{)}^{1/2}$ は実数にありません。

有理数列に沿って値が飛び飛びに存在したり消えたりする。極限を考える土台が崩れます^[1]。

負の底で使えるのは、既約分数にしたとき分母が奇数になる有理数の指数だけ。無理数乗はそもそも定義されません。

指数関数 $y=a^x$ の底に $a>0$ という条件が付いているのは、この事情によります。

対数を使う定め方

大学では、極限を経由せずに一気に定める書き方もよく使われます^[2]。

$$a^r=e^{r\log a}$$

指数関数 $e^x$ と自然対数 $\log$ を先に作っておき、そこから一般の $a^r$ を定義する順番です。

こちらなら連続性も単調性も、$e^x$ と $\log$ の性質としてすでに手元にあります。実数の指数が最初から入っている。

高校の順番とは逆さまですが、行き着く値は同じです。

例：はさんで大きさを見る

$2^{\sqrt{2}}$ の大きさを、電卓なしで見積もります。

$1.4<\sqrt{2}<1.5$ から $2^{1.4}<2^{\sqrt{2}}<2^{1.5}$。右端は $2\sqrt{2}=2.828\dots$ です。

左端は $2^{7/5}=\sqrt[5]{128}$。$2.6^5=118.8$、$2.7^5=143.5$ なので、$2.6$ と $2.7$ のあいだ。

合わせると $2.6<2^{\sqrt{2}}<2.83$ が分かります。実際の値は $2.665$ なので、この幅にきちんと入っています。

例：ほかの無理数乗

$2^{\pi }$ は $2^3=8$ と $2^{3.5}=8\sqrt{2}=11.3$ のあいだ。$\pi =3.14\dots$ なので、$8$ に近いほうです。

$3^{\sqrt{5}}$ なら $\sqrt{5}=2.236\dots$ から、$3^2=9$ と $3^{2.5}=9\sqrt{3}=15.6$ のあいだになります。

$(\frac{1}{2}{)}^{\sqrt{2}}$ は底が $1$ より小さいので、指数が大きいほど値は小さい。$(\frac{1}{2}{)}^{1.5}<(\frac{1}{2}{)}^{\sqrt{2}}<(\frac{1}{2}{)}^{1.4}$ です。

指数法則は無理数でも生き残る

有理数乗で成り立っていた法則は、極限をとったあとも保たれます^[2]。

$$a^r{a}^s=a^{r+s},(a^r{)}^s=a^{rs},(ab{)}^r=a^r{b}^r$$

理由は素朴です。有理数の列どうしで法則が成り立ち、両辺が連続に動くなら、行き先でも等号が残る。

$2^{\sqrt{2}}\times 2^{\sqrt{8}}=2^{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}=2^{3\sqrt{2}}$ のように、そのまま計算できます。

例：無理数乗を含む計算

$2^{\sqrt{3}}\times 2^{2-\sqrt{3}}$ は指数を足して $2^2=4$ です。

$(3^{\sqrt{2}}{)}^{\sqrt{2}}$ は指数を掛けて $3^2=9$ になります。

$\frac{5^{\pi }}{5^{\pi -1}}=5^1=5$ になります。

$(2^{\sqrt{2}}{)}^{\sqrt{2}}=2^2=4$。無理数どうしの積が整数になると、値も一気に整理されます。

無理数の無理数乗が有理数になることがある

$a$ も $b$ も無理数で、$a^b$ が有理数。そんな組はあるのか。

${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ を見ます。これが有理数なら、$a=b=\sqrt{2}$ で例が 1 つできる。

有理数でないなら、$a={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$、$b=\sqrt{2}$ と置きます。

$$a^b=({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{)}^{\sqrt{2}}={\sqrt{2}}^2=2$$

どちらの場合でも例が作れました。${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ が有理数かどうかを決めないまま、存在だけが言えてしまう論法です。

その後の研究で、${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}=1.6325\dots$ は超越数、つまり有理数ではないと分かりました^[4]。後ろの場合が本物だったわけです。

例：大小を比べる

$2^{\sqrt{2}}$ と $3$ では、どちらが大きいか。$2^{1.5}=2.83$ なので、$2^{\sqrt{2}}<2.83<3$ です。

$3^{\sqrt{2}}$ と $2^{\sqrt{3}}$ を比べます。底も指数も違うので、そのままでは並べられない。

指数を近い値に置きかえます。$3^{\sqrt{2}}>3^{1.4}>3^1=3$、いっぽう $2^{\sqrt{3}}<2^{1.8}<2^2=4$。

これだと幅が重なるので決まりません。もう少し詰めると $3^{1.41}=4.7$ 前後、$2^{1.74}=3.3$ 前後で、$3^{\sqrt{2}}$ のほうが大きくなります。

底が大きいほうが伸びやすい。指数がわずかに小さくても、底の差が上回ることがあります。

例：無理数を指数に含む方程式

$2^x=2^{\sqrt{2}}$ を解きます。$2^x$ は単調なので、指数を比べるだけ。$x=\sqrt{2}$ です。

$4^x=2^{\sqrt{2}}$ なら、底を $2$ にそろえます。$4=2^2$ なので $2^{2x}=2^{\sqrt{2}}$ になり、$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

$9^{\sqrt{2}}$ を $3$ の累乗で書くと $3^{2\sqrt{2}}$ です。底をそろえる手順は、指数が無理数でも変わりません。

$(2^{\sqrt{2}}{)}^x=4$ なら、左辺は $2^{\sqrt{2}x}$。$\sqrt{2}x=2$ から $x=\sqrt{2}$ になります。

単調性から対数が生まれる

$a>1$ のとき、$y=a^x$ は実数全体で単調に増え、値は正の数全体を動きます^[2]。

穴がなく、同じ値を 2 回とらない。だから正の数 $y$ を 1 つ決めると、$a^x=y$ をみたす $x$ がちょうど 1 つ定まります。

この $x$ に名前を付けたものが対数です。無理数乗まで値を埋めておかないと、この 1 対 1 の対応が作れない。

高さから横位置を読む。向きを逆にしただけの操作が、対数という名前で呼ばれています。

無理数乗は新しい計算規則ではありません。有理数乗を細かく詰めていった行き先です。

底が $1$ より小さいときの向きも確かめておきます。

参考