先頭の数字だけを知りたい……常用対数の小数部分の使いみち

$2^{100}$ の先頭の数字は $1$ です。 $31$ 桁ある数の、いちばん上の位だけが分かります。

$lo g_{10} 2^{100} = 100 \times 0.3010 = 30.10$ 。整数部分の $30$ が桁を、小数部分の $0.10$ が先頭を決めます^[1]。

$1 0^{0.10} = 1.26$ なので、 $2^{100} = 1.26 \times 1 0^{30}$ あたり。先頭は $1$ です。

桁と先頭を分けて受け持つ

どんな正の数も、 $1$ 以上 $10$ 未満の数と $10$ の累乗の積で書けます。

$2^{100} = 1.26 \dots \times 1 0^{30}$

前の数が数字の並び、後ろが小数点の位置。対数をとると、この 2 つがきれいに分かれます^[1]。

$lo g_{10} (1.26 \times 1 0^{30}) = lo g_{10} 1.26 + 30$ 。小数部分が $lo g_{10} 1.26$ 、整数部分が $30$ です。

先頭の数字を決める区間

小数部分を $f$ とすると、先頭の数字は $1 0^{f}$ の整数部分です。 $0 \leq f < 1$ なので、 $1 \leq 1 0^{f} < 10$ 。

$1 0^{f}$ が $1$ 以上 $2$ 未満なら先頭は $1$ 、 $2$ 以上 $3$ 未満なら $2$ 。境目は $lo g_{10} 2$ 、 $lo g_{10} 3$ という値そのものです。

区間の幅は左ほど広くなります。 $1$ の区間は $0.3010$ 、 $9$ の区間は $0.0458$ しかない。

先頭の数字	小数部分の下限	小数部分の上限
1	0.0000	0.3010
2	0.3010	0.4771
5	0.6990	0.7782
9	0.9542	1.0000

手順

指数を対数の値に掛ける

整数部分と小数部分に分ける

小数部分がどの区間に入るかを読む

整数部分に $1$ を足せば桁数、小数部分の区間が先頭の数字^[2]。1 回の計算で 2 つとも出ます。

例： $3^{50}$

$lo g_{10} 3^{50} = 50 \times 0.4771 = 23.855$ です。

整数部分は $23$ なので、桁数は $24$ 桁。小数部分は $0.855$ 。

$0.8451 < 0.855 < 0.9031$ なので、この区間は $7$ 。先頭の数字は $7$ です。

$1 0^{0.855} = 7.16$ を計算しても同じ結論。実際の $3^{50} = 7.179 \times 1 0^{23}$ と合っています。

例： $6^{40}$

$lo g_{10} 6 = lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$ です。

$40 \times 0.7781 = 31.124$ 。整数部分が $31$ なので $32$ 桁になります。

小数部分は $0.124$ で、 $0.3010$ より小さい。先頭の数字は $1$ です。

$1 0^{0.124} = 1.33$ なので、 $6^{40} = 1.33 \times 1 0^{31}$ あたり。実際は $1.337 \times 1 0^{31}$ 。

例：先頭 2 桁まで出す

$2^{30}$ の上 2 桁を求めます。 $30 \times 0.3010 = 9.030$ で、小数部分は $0.030$ 。

$1 0^{0.030}$ を評価します。 $lo g_{10} 1.07 = 0.0294$ 、 $lo g_{10} 1.08 = 0.0334$ です。

$0.0294 < 0.030 < 0.0334$ なので、 $1.07 < 1 0^{0.030} < 1.08$ 。上 2 桁は $10$ です。

実際の $2^{30} = 1073741824$ で、上 2 桁は $10$ 。 $3$ 桁目まで出したければ、区間をさらに細かく切ります。

先頭 1 桁なら $lo g_{10} 1$ から $lo g_{10} 9$ の 9 個で足りますが、2 桁目まで出すには $lo g_{10} 1.0$ から $lo g_{10} 9.9$ までの値が要ります。

必要な精度は、常用対数の値をどこまで持っているかで決まる。表の桁数が答えの桁数を縛ります。

例：小さい数の先頭

$0. 3^{20}$ の先頭の数字を出します。 $lo g_{10} 0.3 = 0.4771 - 1 = - 0.5229$ です。

$20 \times (- 0.5229) = - 10.458$ 。このままでは小数部分が読めません。

整数部分を切り下げて $- 11$ 、残りを小数部分にします。 $- 10.458 = - 11 + 0.542$ 。

小数部分の $0.542$ は $0.4771$ と $0.6021$ のあいだなので、先頭の数字は $3$ 。実際は $3.487 \times 1 0^{- 11}$ です。

負の値では、整数部分を小さいほうへ切り下げる。ここを間違えると先頭が 1 つずれます。

例：積や商の先頭

$2^{50} \times 3^{30}$ の先頭を出します。対数にすると足し算です。

$50 \times 0.3010 + 30 \times 0.4771 = 15.05 + 14.313 = 29.363$ 。

整数部分は $29$ で $30$ 桁。小数部分の $0.363$ は $0.3010$ と $0.4771$ のあいだなので、先頭は $2$ 。

積を計算せずに答えが出ました。桁が大きくなるほど、この手順の得が大きくなります。

例： $7^{25}$

$lo g_{10} 7 = 0.8451$ とします。 $25 \times 0.8451 = 21.1275$ です。

整数部分は $21$ で、桁数は $22$ 桁。小数部分の $0.1275$ は $0.3010$ より小さい。

先頭の数字は $1$ です。実際の $7^{25} = 1.3413 \times 1 0^{21}$ と合っています。

例：底を分解する

$1 2^{20}$ を求めます。 $lo g_{10} 12$ は表になくても、 $12 = 2^{2} \times 3$ から作れます。

$lo g_{10} 12 = 2 \times 0.3010 + 0.4771 = 1.0791$ です^[4]。

$20 \times 1.0791 = 21.582$ 。整数部分が $21$ なので $22$ 桁になります。

小数部分の $0.582$ は $0.4771$ と $0.6021$ のあいだ。先頭の数字は $3$ で、実際は $3.834 \times 1 0^{21}$ です。

底を素因数分解しておくと、 $lo g_{10} 2$ と $lo g_{10} 3$ の 2 つだけで多くの問題が解けます。

例：先頭が 1 になる指数

$2^{n}$ の先頭が $1$ になるのは、 $n lo g_{10} 2$ の小数部分が $0.3010$ より小さいときです。

$n = 4$ なら $1.204$ で小数部分は $0.204$ 。 $2^{4} = 16$ で先頭は $1$ 。

$n = 10$ なら $3.010$ で小数部分は $0.010$ 。 $2^{10} = 1024$ で、やはり $1$ です。

$n = 14$ 、 $n = 17$ 、 $n = 20$ でも同じ。 $16384$ 、 $131072$ 、 $1048576$ と、どれも $1$ で始まります。

小数部分は $n$ が $1$ 増えるごとに $0.3010$ ずつ進み、 $1$ を超えたら戻る。この歩みが区間のどこに落ちるかで先頭が決まります。

先頭が 1 になりやすい

区間の幅の話には続きがあります。実際に集めた数値でも、先頭が $1$ である割合が $30$ パーセントほどになる^[3]。

先頭が $d$ になる割合は $lo g_{10} (1 + \frac{1}{d})$ で、 $1$ なら $30.1$ パーセント、 $9$ なら $4.6$ パーセント。

対数の小数部分が $0$ から $1$ に一様に散らばるとき、この割合が出ます。区間の幅がそのまま確率になる。

ベンフォードの法則と呼ばれ、会計の不正検出などにも使われています。

先頭の数字は周期では戻らない

$2^{n}$ の先頭を $n = 0$ から追うと、 $1$ 、 $2$ 、 $4$ 、 $8$ 、 $1$ 、 $3$ 、 $6$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $5$ と並びます。同じ並びが繰り返すことはありません。

理由は $lo g_{10} 2$ が無理数だからです。小数部分は $n$ が $1$ 増えるごとに $0.3010$ ずつ進み、 $1$ を超えたところで戻る。

進む幅が有理数なら、いつかもとの位置にぴったり重なって周期ができます。無理数なら二度と同じ点を踏みません。

そのかわり、小数部分は $0$ から $1$ のあいだにまんべんなく散らばっていきます。先頭の数字の割合が区間の幅に近づくのは、この散らばり方によります^[3]。

$lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とします。 $2^{40}$ の最高位の数字はどれですか。

__RESULT__

$40 \times 0.3010 = 12.04$ です。小数部分の $0.04$ は $0.3010$ より小さいので、先頭の数字は $1$ になります。桁数は $13$ 桁です。

小さい数の場合も確かめます。

$lo g_{10} 2 = 0.3010$ とします。 $0. 5^{15}$ の最初に現れる $0$ でない数字はどれですか。

__RESULT__

$lo g_{10} 0.5 = - 0.3010$ なので $15$ 倍して $- 4.515$ 。 $- 5 + 0.485$ と分けると、小数部分の $0.485$ は $0.4771$ と $0.6021$ のあいだ。したがって $3$ です。

参考

Common Logarithm and Natural Logarithm. Math Only Math.

Number Length. Wolfram MathWorld.

Benford's Law. Wolfram MathWorld.

Logarithmic Properties. College Algebra 2e, OpenStax.

$2^{100}$ は 31 桁で、先頭の数字は 1 です。$100 \times 0.3010 = 30.10$ の整数部分が桁を、小数部分が先頭を決めます。$10^{0.10} = 1.26$ だから 1 になる。$0$ から $1$ までを $\log_{10} 2$、$\log_{10} 3$ と切っていくと、9 つの区間ができて小数部分の落ちた区間がそのまま先頭の数字になります。左の区間ほど幅が広く、先頭が 1 になる場合がいちばん多い。負の対数で整数部分を切り下げる理由、先頭 2 桁まで出す方法、ベンフォードの法則へつながる話まで。