電卓がない時代の道具！常用対数表を読んで 2 の 30 乗を出す

常用対数表に載っているのは、 $1.00$ から $9.99$ までの対数だけです。それでも $2^{30}$ が $10$ 桁だと分かります。

$lo g_{10} 2 = 0.3010$ を $30$ 倍すると $9.030$ 。整数部分の $9$ が桁を、小数部分の $0.030$ が先頭の数字を教えます。

表が小さくて済むのは、 $10$ 倍しても小数部分が変わらないからです^[2]。

整数部分と小数部分に分ける

$lo g_{10} 392 = 2.5933$ 、 $lo g_{10} 39.2 = 1.5933$ 、 $lo g_{10} 3.92 = 0.5933$ 。

小数部分はどれも $0.5933$ で同じ。変わるのは整数部分だけです^[2]。

$10$ 倍することは、対数では $1$ を足すこと。 $lo g_{10} 10 x = lo g_{10} x + 1$ だからです。

整数部分を指標、小数部分を仮数と呼びます。表が持っているのは仮数だけ。

整数部分は数えれば分かる

$1$ 以上の数なら、整数部分は「けた数から $1$ を引いた数」です^[2]。

$392$ は $3$ 桁なので $3 - 1 = 2$ 。 $39.2$ は整数部が $2$ 桁なので $1$ 。 $3.92$ は $1$ 桁で $0$ 。

$1$ より小さい数では負になります。小数点のあとに並ぶ $0$ の個数より $1$ だけ大きい負の数。

$0.0392$ なら $0$ が $1$ 個で、整数部分は $- 2$ です。 $lo g_{10} 0.0392 = - 2 + 0.5933 = - 1.4067$ 。

表の引き方

表は行と列でできています。行が上 2 桁、列が 3 桁目^[3]。

$lo g_{10} 2.13$ を引くなら、 $21$ の行を見て $3$ の列を読む。 $0.3284$ です。

4 桁目は平均差の欄で足します。 $lo g_{10} 2.134$ なら、平均差の $4$ の欄が $8$ なので $0.3284 + 0.0008 = 0.3292$ 。

平均差は $1 0^{- 4}$ を単位にした数です。最後の桁に足す、と決まっています。

段階	見る場所	値
上 2 桁	行	21 の行
3 桁目	列	3 の列で 0.3284
4 桁目	平均差	4 の欄で +0.0008

例：3 桁目までを引く

$lo g_{10} 5.67$ を求めます。 $56$ の行、 $7$ の列で $0.7536$ です。

$lo g_{10} 567 = 2.7536$ 、 $lo g_{10} 0.567 = - 1 + 0.7536 = - 0.2464$ 。

同じ仮数を使いまわします。整数部分だけを桁数から決める。

例： $2^{30}$ を出す

$lo g_{10} 2^{30} = 30 lo g_{10} 2 = 30 \times 0.3010 = 9.030$ です。

整数部分が $9$ なので、 $2^{30}$ は $10$ 桁になります。桁数は整数部分に $1$ を足した数^[2]。

小数部分の $0.030$ から先頭の数字も出ます。 $1 0^{0.030} = 1.07$ なので、 $2^{30} = 1.07 \times 1 0^{9}$ あたり。

実際の値は $1073741824$ です。 $10$ 桁で、先頭は $1$ 、次が $0$ 。読みとった通りになりました。

逆に引く

対数の値から、もとの数を求めることもあります。逆対数の表を使う手順です^[3]。

$lo g_{10} x = 1.7536$ なら、小数部分の $0.7536$ を表の中から探します。 $56$ の行、 $7$ の列に見つかる。

上 2 桁が $56$ 、3 桁目が $7$ で $5.67$ 。整数部分が $1$ なので $10$ 倍して $x = 56.7$ です。

表を引く向きが逆になるだけで、仕組みは同じ。仮数が数字の並びを、指標が小数点の位置を決めます。

仮数が「どんな数字が並ぶか」を、指標が「小数点をどこに打つか」を別々に受け持っている。

この分業のおかげで、表は $1$ から $10$ までの範囲だけで足りる。どんな大きさの数にも同じ表が使えます。

例：あいだの値を補う

表に載っていない値は、両隣から比例で見積もります^[1]。

$lo g_{10} 1.7543$ を出します。 $lo g_{10} 1.754 = 0.24403$ 、 $lo g_{10} 1.755 = 0.24428$ 。

差は $0.00025$ です。 $1.7543$ は $1.754$ から $0.3$ 割ぶん進んだ位置にあるので、 $0.00025 \times 0.3 = 0.00007$ を足す。

$0.24403 + 0.00007 = 0.24410$ になります。実際の値は $0.244104$ で、小数第 $5$ 位まで合っています。

対数の曲線は、狭い区間ではほとんど直線です。だから比例で足すだけで精度が出る。

例：掛け算を足し算にする

$392 \times 5.67$ を表だけで計算します。

$lo g_{10} 392 = 2.5933$ 、 $lo g_{10} 5.67 = 0.7536$ 。足すと $3.3469$ です。

整数部分が $3$ なので $4$ 桁。小数部分の $0.3469$ を逆に引くと $2.222$ あたり。

答えは $2222$ ほどになります。実際は $392 \times 5.67 = 2222.64$ で、上 4 桁が合っています。

掛け算 1 回が、表引き 2 回と足し算 1 回に置きかわりました^[5]。桁が増えるほど得になります。

表が使われた時代

1614

ネイピアが対数を発表

掛け算を足し算に変える方法として公表された。天文計算の負担を減らすのが目的だった。

1617

ブリッグスが常用対数表を出す

底を 10 にそろえた表が作られ、桁の扱いが楽になった。手計算で膨大な値が求められた。

1970 年代

電卓に置きかわる

手のひらに載る計算機が広まり、表と計算尺は教室の外から姿を消した。

$350$ 年以上、科学と航海の計算はこの表の上で回っていました^[4]。

いまも教科書の巻末に残っているのは、桁数や最高位を求める問題で実際に値が要るためです。

例：割り算を引き算にする

$2222 \div 39.2$ を表で計算します。掛け算が足し算になるなら、割り算は引き算です。

$lo g_{10} 2222 = 3.3467$ 、 $lo g_{10} 39.2 = 1.5933$ 。引くと $1.7534$ になります。

整数部分が $1$ なので $2$ 桁。仮数の $0.7534$ を逆に引くと $5.67$ あたり。

答えはおよそ $56.7$ です。 $2222 \div 39.2 = 56.68$ なので、上 3 桁まで合っています。

例：累乗根を出す

$5200$ を求めます。根号のままでは手が出ませんが、対数に通すと割り算になります。

$lo g_{10} 5200 = \frac{lo g _{10} 200}{5}$ です。 $lo g_{10} 200 = 2.3010$ 。

$\frac{2.3010}{5} = 0.4602$ 。整数部分が $0$ なので $1$ 桁の数です。

仮数の $0.4602$ を逆に引くと $2.885$ 。 $2.88 5^{5} = 199.9$ で、ほぼ $200$ に戻ります。

累乗根が割り算 1 回で片づく。表がとくに強かったのは、この種の計算です。

例：続けて計算する

$\frac{392 \times 5.67}{39.2}$ を一気に出します。対数に直すと足し算と引き算だけになる。

$2.5933 + 0.7536 - 1.5933 = 1.7536$ です。

整数部分が $1$ で $2$ 桁、仮数の $0.7536$ から $5.67$ 。答えは $56.7$ になります。

途中で数を書き戻さずに済むので、計算が長いほど有利です。掛け算と割り算が混ざっていても、符号を変えるだけで続きます。

計算尺は表を物に移したもの

対数目盛を刻んだ物差しを 2 本重ね、滑らせて長さを足す。それが計算尺です^[4]。

表を引く手間が、目盛りを合わせる動作に置きかわります。精度は 3 桁ほどで、表より粗い。

そのぶん速く、持ち運べました。設計や測量の現場では、表より計算尺が使われることが多かった。

読みとれる桁が少ないので、桁数だけは自分で見積もる必要があります。仮数を機械が、指標を人が受け持つ形です。

よくある誤り

表から引いた値をそのまま答えにする。整数部分を自分で足します。

1 より小さい数の整数部分を正にする。負になります。

平均差を 10 の -3 乗の位に足す。単位は 10 の -4 乗です。

逆に引くとき小数点の位置を仮数から決める。位置は整数部分が決めます。

補間で差を足す向きを間違える。値が大きい側へ足します。

仮数が数字の並び、指標が小数点の位置。この分業を押さえれば、表は迷わず引けます。

$lo g_{10} 3.14 = 0.4969$ のとき、 $lo g_{10} 0.0314$ はいくつですか。

$0.4969$
$- 2 + 0.4969$
$- 0.4969$

__RESULT__

$0.0314$ は小数点のあとに $0$ が $1$ 個なので、整数部分は $- 2$ です。仮数は $10$ 倍しても変わらないので $0.4969$ のまま。合わせて $- 1.5031$ になります。

桁数を出す形も確かめます。

$lo g_{10} 3 = 0.4771$ のとき、 $3^{20}$ は何桁ですか。

$9$ 桁
$10$ 桁
$11$ 桁

__RESULT__

$20 \times 0.4771 = 9.542$ です。整数部分が $9$ なので、桁数は $9 + 1 = 10$ 桁になります。

出典

John D. Cook. *Using a table of logarithms*.

Common Logarithm and Natural Logarithm. Math Only Math.

Logarithm Table. BYJU'S.

Logarithm. Wikipedia.

Julius O. Smith III. *Logarithms*. CCRMA, Stanford University.

表に載っているのは 1.00 から 9.99 までの対数だけです。それでも $2^{30}$ が 10 桁で先頭が 1 だと分かる。$\log_{10} 392$ も $\log_{10} 39.2$ も $\log_{10} 3.92$ も、小数部分は $0.5933$ で同じだからです。数字の並びは仮数が、小数点の位置は指標が受け持つ。行で上 2 桁、列で 3 桁目、平均差で 4 桁目を足す手順、$392 \times 5.67$ を足し算に置きかえる計算、$\sqrt[5]{200}$ を割り算 1 回で出す使い方、そして計算尺へつながる話まで。