コンデンサーをつなぐとエネルギーはなぜ減るのか？電荷は保存されるのに

$100 pF$ を $100 V$ まで充電し、空の $300 pF$ につなぎます。両方の電圧は $25 V$ に落ち着きます。

電荷は $1.0 \times 1 0^{- 8} C$ のまま。1 個も消えていません。

ところがエネルギーは $0.50 μ J$ から $0.125 μ J$ へ落ちます。4 分の 3 が失われている。

保存されるのは電荷だけ

つないだ 2 つのコンデンサーは、並列になります。並列なら電圧が共通です^[1]。

電荷のほうは、外へ出ていく道がないかぎり合計が変わりません。この 2 つを連立させれば、落ち着き先が出ます。

$V = \frac{Q _{1} + Q _{2}}{C _{1} + C _{2}}$

分子が電荷の合計、分母が容量の合計。ならした電圧、という形をしています。

つなぐ前の電荷を合計する

容量の合計で割って共通の電圧を出す

それぞれの新しい電荷を $Q = C V$ で分ける

例：空のコンデンサーにつなぐ

$C_{1} = 100 pF$ 、 $V_{1} = 100 V$ 、 $C_{2} = 300 pF$ 、 $V_{2} = 0$ とします。

$V = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 8} + 0}{4.0 \times 1 0 ^{- 10}} = 25 V$

電荷の分かれ方は容量の比のとおり。 $100 : 300$ なので、 $2.5 nC$ と $7.5 nC$ です^[2]。

エネルギーは合計の容量と共通の電圧から出ます。

$U = \frac{1}{2} \times 4.0 \times 1 0^{- 10} \times 2 5^{2} = 0.125 μ J$

エネルギーは必ず減る

失われる量は、はじめの電圧の差だけで決まります。

$Δ U = \frac{C _{1} C _{2}}{2 ( C _{1} + C _{2} )} (V_{1} - V_{2})^{2}$

差の 2 乗が掛かっているので、値は必ず正か $0$ 。電圧がはじめから同じでないかぎり、必ず減ります。

今回の数値を入れます。

$Δ U = \frac{100 \times 300}{2 \times 400} \times 1 0^{- 12} \times 10 0^{2} = 0.375 μ J$

$0.50 - 0.125 = 0.375$ と合いました。

$(V_{1} - V_{2})^{2}$ という形は、同じ電圧どうしをつなげば損がないことを表しています。

電圧をそろえてからつなぐ回路が使われるのは、この差を $0$ に近づけるため。

同じ容量なら半分が消える

$C_{1} = C_{2} = C$ 、 $V_{1} = V$ 、 $V_{2} = 0$ の場合を見ます。

共通の電圧は $\frac{V}{2}$ 。エネルギーは $2 \times \frac{1}{2} C (\frac{V}{2})^{2} = \frac{C V ^{2}}{4}$ です。

はじめの $\frac{1}{2} C V^{2}$ のちょうど半分。容量の値にも電圧の値にもよらず、いつでも半分になります。

消えたぶんはどこへ行ったか

導線には必ず抵抗があります。電荷が移動するあいだ電流が流れ、そこで熱になる^[1]。

不思議なのは、失われる量が抵抗の値によらない点です。抵抗を小さくすれば電流は増えますが、流れる時間が短くなって差し引きが同じになる。

抵抗を $0$ に近づけても、失われる量は変わりません。その極限では、電磁波として放射される形でエネルギーが出ていきます^[1]。

例：両方が充電済み

$100 pF$ を $100 V$ 、 $300 pF$ を $200 V$ に充電し、同じ向きにつなぎます。

電荷は $1.0 \times 1 0^{- 8}$ と $6.0 \times 1 0^{- 8}$ で、合計 $7.0 \times 1 0^{- 8} C$ 。

$V = \frac{7.0 \times 1 0 ^{- 8}}{4.0 \times 1 0 ^{- 10}} = 175 V$

はじめのエネルギーは $0.50 + 6.0 = 6.5 μ J$ 、あとは $6.125 μ J$ 。差は $0.375 μ J$ です。

電圧の差は先ほどと同じ $100 V$ なので、失われる量も同じになりました。

例：逆向きにつなぐ

同じ 2 つを、正極と負極が向かい合うようにつなぎます。電荷は打ち消し合う。

$V = \frac{6.0 \times 1 0 ^{- 8} - 1.0 \times 1 0 ^{- 8}}{4.0 \times 1 0 ^{- 10}} = 125 V$

エネルギーは $3.125 μ J$ まで落ちます。失われるのは $3.375 μ J$ で、全体の半分を超えました。

差の 2 乗の式に $(V_{1} + V_{2})^{2} = 30 0^{2}$ を入れた値と一致します。逆向きにつなぐと、電圧の差が実質 $300 V$ になるためです。

つなぎ方	共通の電圧	失われるエネルギー
空につなぐ	$25 V$	$0.375 μ J$
同じ向き	$175 V$	$0.375 μ J$
逆向き	$125 V$	$3.375 μ J$

電荷が保存される理由

つないだ 2 枚の極板と、それを結ぶ導線。この 3 つは外のどこともつながっていません。

孤立した島になっているので、島の中の電荷の合計は動かせない。行き来はできても、外へ出ていく道がないためです。

電池がつながっていれば話は別で、そのときは電荷が補給されます。電池を外してからつなぐ問題では、必ず合計が保存されます。

例：3 つ以上をつなぐ

式の形は変わりません。分子に電荷の合計、分母に容量の合計を置くだけです。

$100 pF$ を $100 V$ 、 $200 pF$ を $0 V$ 、 $300 pF$ を $50 V$ にして、3 つとも並列につなぎます。

$V = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 8} + 0 + 1.5 \times 1 0 ^{- 8}}{6.0 \times 1 0 ^{- 10}} = 41.7 V$

それぞれの新しい電荷は $4.2 nC$ 、 $8.3 nC$ 、 $12.5 nC$ 。合計は $25 nC$ で、つなぐ前と同じです。

いちばん電圧の高かった $100 pF$ から電荷が出ていき、低かった 2 つへ流れ込みました。

例：損を減らすつなぎ方

失われる量が電圧の差の 2 乗で効くので、差を小さくしてからつなぐと損が減ります。

$100 V$ と $0 V$ をいきなりつなげば、差は $100 V$ 。 $50 V$ まで先に上げておけば、差は $50 V$ で損は 4 分の 1 になる。

$\frac{Δ U ^{'}}{Δ U} = (\frac{50}{100})^{2} = \frac{1}{4}$

電源の側で電圧を合わせてからつなぐ回路が多いのは、この効き方によります。差を $0$ にできれば、損も $0$ 。

例：向きを間違えたときの被害

逆向きにつないだ場合の損が大きい理由も、同じ式から読めます。

同じ向きなら差は $∣ V_{1} - V_{2} ∣$ 、逆向きなら $V_{1} + V_{2}$ 。 $100 V$ と $200 V$ なら、 $100$ と $300$ で $9$ 倍の開きになります。

$\frac{3.375}{0.375} = 9$

実際の値もちょうど $9$ 倍でした。極性を逆にしてつなぐと、熱の出方が桁で変わります。

検算のしかた

電荷の合計を、つなぐ前とあとで比べます。合っていなければ、どこかで極性を落としている。

エネルギーは必ず減ります。増える答えが出たら計算が違う。等しい電圧どうしをつないだ場合だけ、変化が $0$ になります。

共通の電圧が、はじめの 2 つの電圧のあいだに入るかも見ます。同じ向きにつないだなら、必ず $V_{1}$ と $V_{2}$ のあいだ。

つないだあとも、それぞれの電荷が変わらないと考える。

電圧が平均になると考える。容量で重みが付きます。

逆向きにつないだとき、電荷を足してしまう。引きます。

エネルギーが保存されると考えて、共通の電圧を出す。

失われるエネルギーが導線の抵抗の値で変わると考える。

$200 pF$ を $60 V$ に充電し、同じ $200 pF$ の空のコンデンサーにつなぎます。エネルギーはどうなりますか。

変わらない
半分になる
4 分の 1 になる

__RESULT__

共通の電圧は $30 V$ で、2 つ合わせた容量は $400 pF$ です。 $\frac{1}{2} \times 400 \times 1 0^{- 12} \times 3 0^{2} = 0.18 μ J$ となり、はじめの $0.36 μ J$ の半分になります。同じ容量どうしなら、いつでも半分です。

電荷を足して容量で割る。この 1 行で共通の電圧が出て、あとはエネルギーを前後で比べるだけになります。

参考文献

Jeremy Tatum. *Sharing a Charge Between Two Capacitors*/05:_Capacitors/5.13:__Sharing_a_Charge_Between_Two_Capacitors). Electricity and Magnetism, Physics LibreTexts.

Energy Stored in a Capacitor. University Physics Volume 2, OpenStax.

Roland Mitdank. *Feld und Kapazität eines Plattenkondensators*. Institut für Physik, Humboldt-Universität zu Berlin.

$100\ \mathrm{pF}$ を $100\ \mathrm{V}$ に充電して空の $300\ \mathrm{pF}$ につなぐと、電圧は $25\ \mathrm{V}$。電荷は $10\ \mathrm{nC}$ のままなのに、エネルギーは $0.50\ \mu\mathrm{J}$ から $0.125\ \mu\mathrm{J}$ へ落ちます。失われる量は $\frac{C_1C_2}{2(C_1+C_2)}(V_1-V_2)^2$ で、差の 2 乗が掛かるぶん必ず正。同じ容量どうしなら、値によらずいつでも半分が消えます。消えたぶんは導線の抵抗で熱になり、しかも抵抗の値によらない。逆向きにつないだときに損が 9 倍へ跳ねる理由まで。