コイルのある直流回路をスイッチ直後と定常状態で見る

$6.0\mathrm{V}$ の電池に $3.0\Omega$ の抵抗と $0.30\mathrm{H}$ のコイルを直列につなぎます。スイッチを入れた瞬間の電流は $0$、じゅうぶん時間がたつと $2.0\mathrm{A}$ になります。

コイルは電流の変化を嫌います。急に流そうとすると、それを打ち消す向きの起電力を出す^[1]。

落ち着いてしまえば変化がないので、起電力も消えます。そのときのコイルは、ただの導線と区別が付きません。

電流の変化に逆らう

コイルに生じる起電力は、電流の変化率に比例します^[1]。

$${\epsilon }_L=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}$$

$L$ は自己インダクタンスで、単位はヘンリー。マイナスは、変化を打ち消す向きを表しています。

電流が増えようとすれば減らす向きに、減ろうとすれば増やす向きに働く。

コンデンサーとはちょうど逆

同じ直流回路でも、コンデンサーとコイルは逆の振る舞いをします。

どちらも、極端な 2 つの時刻では抵抗だけの回路に化けます。途中の様子を追わずに済むので、問題の多くはこの 2 点だけを聞いてきます。

時定数

電流が最終値へ近づく速さは、時定数で決まります^[2]。

$$\tau =\frac{L}{R}$$

$L$ が大きいほど、$R$ が小さいほど、落ち着くのに時間がかかります。

$$I(t)=\frac{\epsilon }{R}\left(1-e^{-t/\tau }\right)$$

$t=\tau$ で最終値の 63\ \mathrm{%}、$t=3\tau$ で 95\ \mathrm{%} に届きます。

例：6 V と 3 Ω と 0.30 H

時定数を出します。

$$\tau =\frac{0.30}{3.0}=0.10\mathrm{s}$$

最終的な電流は $\frac{6.0}{3.0}=2.0\mathrm{A}$。$0.10\mathrm{s}$ で $1.26\mathrm{A}$、$0.30\mathrm{s}$ で $1.90\mathrm{A}$ です。

入れた瞬間の変化率も出せます。電流が $0$ なので抵抗の電圧降下も $0$、電池の $6.0\mathrm{V}$ がすべてコイルに掛かる。

$$\frac{\Delta I}{\Delta t}=\frac{\epsilon }{L}=\frac{6.0}{0.30}=20A/s$$

この勢いのまま増え続ければ、$0.10\mathrm{s}$ で $2.0\mathrm{A}$ に届く計算です。実際は途中で鈍るので、そこまで速くはなりません。時定数の意味がここに現れています。

蓄えられるエネルギー

定常状態のコイルには、磁場のエネルギーが蓄えられています。

$$U=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\times 0.30\times 2.0^2=0.60\mathrm{J}$$

コンデンサーの $\frac{1}{2}C{V}^2$ と同じ形です。電圧の代わりに電流が入る。

このエネルギーは、スイッチを切った瞬間に行き場を失います。急に電流を止められないので、コイルは高い電圧を出して流れ続けようとする。

例：定常状態の回路を解く

$6.0\mathrm{V}$ の電池に $3.0\Omega$ を直列につなぎ、その先に $6.0\Omega$ とコイルを並列に置きます。コイルの抵抗は無視できるとします。

じゅうぶん時間がたったあとは、コイルを導線に置きかえます。$6.0\Omega$ が短絡された形になる。

$$I=\frac{6.0}{3.0}=2.0\mathrm{A}$$

電流はすべてコイル側を通り、$6.0\Omega$ には流れません。

スイッチを入れた瞬間はどうか。コイルを切って考えるので、$3.0\Omega$ と $6.0\Omega$ の直列です。

$$I=\frac{6.0}{9.0}=0.67\mathrm{A}$$

同じ回路で、$0.67\mathrm{A}$ から $2.0\mathrm{A}$ へ増えていきます。

例：スイッチを切る

定常状態から、電池を回路から外して抵抗だけの輪にします。電流は $2.0\mathrm{A}$ から $0$ へ落ちていく。

減り方も指数関数で、時定数は同じ $\frac{L}{R}$ です。

$$I(t)=2.0e^{-t/0.10}$$

$0.10\mathrm{s}$ で $0.74\mathrm{A}$、$0.30\mathrm{s}$ で $0.10\mathrm{A}$ まで下がります。

このあいだに抵抗で出る熱の総量は、コイルに蓄えられていた $0.60\mathrm{J}$ とちょうど同じ。電池は切り離されているので、ほかに供給元がありません。

例：ソレノイドのインダクタンス

$L$ の値は、コイルの形から決まります。長さ $\ell$、断面積 $A$、巻数 $N$ のソレノイドなら次の形です。

$$L=\frac{{\mu }_0{N}^{2}A}{\ell }$$

巻数の 2 乗で効きます。磁場を作る側で $N$ に比例し、その磁束を受けとる側でもう一度 $N$ が掛かるためです。

$N=500$、$A=4.0\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$、$\ell =0.20\mathrm{m}$ で計算します。

$$L=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 500^2\times 4.0\times 10^{-4}}{0.20}=6.3\times 10^{-4}\mathrm{H}$$

$0.63\mathrm{mH}$。$0.30\mathrm{H}$ を作るには鉄心を入れるか、巻数をさらに増やします。

例：時定数を変える

同じ回路で抵抗だけを $3.0\Omega$ から $30\Omega$ へ増やします。

時定数は $\frac{0.30}{30}=0.010\mathrm{s}$ で $10$ 分の 1。落ち着くのは速くなります。

最終的な電流は $\frac{6.0}{30}=0.20\mathrm{A}$ で $10$ 分の 1。速く立ち上がる代わりに、値そのものは小さくなる。

検算のしかた

2 つの極端な時刻で、置きかえが正しいかを見ます。コイルは瞬間に断線、定常で導線。逆にすると答えが入れかわります。

時定数の単位も確かめます。$\frac{\mathrm{H}}{\Omega }$ が $\mathrm{s}$ になるはずです。

エネルギーの桁も見ておきます。$\frac{1}{2}L{I}^2$ で、$\mathrm{H}$ と $\mathrm{A}$ の 2 乗を掛ければ $\mathrm{J}$ になります。

瞬間は切る、定常はつなぐ。この 2 つの置きかえだけで、コイルのある回路はふつうの抵抗回路に落ちます。

参考