コンデンサーに誘電体を半分だけ挿す〜並列と直列の見分け

$100\mathrm{pF}$ のコンデンサーに、比誘電率 $4$ の板を「半分だけ」入れます。答えは $250\mathrm{pF}$ にも $160\mathrm{pF}$ にもなります。

分かれるのは入れ方です。横から板を差し込んで面積の半分を覆うなら $250\mathrm{pF}$。極板の間隔の半分を埋めるように寝かせて挟むなら $160\mathrm{pF}$。

前者は 2 つのコンデンサーの並列、後者は直列。同じ「半分」でも回路の形が違います。

まず全部入れたとき

誘電体で満たすと、容量は比誘電率の倍だけ増えます^[1]。

$$C={\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_0\frac{A}{d}$$

${\epsilon }_{\mathrm{r}}=4$ なら $400\mathrm{pF}$。誘電体の中で分極が起き、電場を打ち消す向きの電荷が表面に現れるためです^[2]。

同じ電圧でも、より多くの電荷を蓄えられるようになる。半分だけ入れた場合は、$100$ と $400$ のあいだのどこかに落ち着きます。

半分の入れ方は 2 通り

面積で分けるなら並列

横から差し込んだ場合、極板は左半分と右半分に分かれたのと同じことになります。

どちらの部分も、上下は同じ極板につながっている。つまり電圧が共通です。電圧が共通なら並列^[3]。

$$C={\epsilon }_0\frac{A/2}{d}+{\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_0\frac{A/2}{d}=\frac{1+{\epsilon }_{\mathrm{r}}}{2}{C}_0$$

${\epsilon }_{\mathrm{r}}=4$ なら $\frac{5}{2}\times 100=250\mathrm{pF}$。

厚みで分けるなら直列

寝かせて挟んだ場合、電場は真空の層と誘電体の層を続けて通ります。

境界面に現れる電荷の量は、上下の極板と同じ。電荷が共通なら直列です^[3]。

$$\frac{1}{C}=\frac{d/2}{{\epsilon }_{0}A}+\frac{d/2}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_{0}A}$$

整理します。

$$C=\frac{2{\epsilon }_{\mathrm{r}}}{1+{\epsilon }_{\mathrm{r}}}{C}_0=\frac{8}{5}\times 100=160\mathrm{pF}$$

同じ体積の誘電体を使っても、面積で分けたほうがよく効きます。直列は弱いほうに引きずられるためです。

見分け方は境界の向き

判断は、誘電体の境界面が電場に対してどちらを向いているかで付きます。

境界が電場と平行なら、電場の通り道が横に並んだ形。並列です。

境界が電場と垂直なら、電場が 2 つの層を続けて通る形。直列になります。

例：直列の場合の電圧配分

厚みで分けた $160\mathrm{pF}$ に、$100\mathrm{V}$ を掛けます。層ごとの電場を出してみます。

電荷が共通なので、面電荷密度も共通。誘電体の中の電場は ${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ 分の 1 に弱まります^[2]。

真空の層を $E_1$、誘電体の層を $E_2=\frac{E_1}{4}$ とすると、電圧は 2 つの層の和です。

$$E_1\cdot \frac{d}{2}+\frac{E_1}{4}\cdot \frac{d}{2}=100$$

$d=1.0\mathrm{mm}$ を入れると $E_1=1.6\times 10^{5}V/m$、$E_2=4.0\times 10^{4}V/m$。

厚みは同じなのに、電圧は $80\mathrm{V}$ と $20\mathrm{V}$ に分かれました。誘電体が入っている側のほうが、電圧の負担が小さい。

差し込みながら見る

板を少しずつ入れていくと、容量がどう伸びるかも入れ方で分かれます。

両端では同じ値に戻ります。差が最も開くのは、ちょうど半分あたり。

誘電体は引き込まれる

板を途中まで差し込んで手を放すと、板は奥へ引き込まれます。

電圧を一定に保つ場合、容量が増えるほどエネルギーは増えますが、電池が供給するエネルギーはその 2 倍。差が板を動かす仕事になります。

半分入れたところから全部入れるまでで、容量は $250\mathrm{pF}$ から $400\mathrm{pF}$ へ。$100\mathrm{V}$ なら、蓄えるエネルギーは $1.25\mu \mathrm{J}$ から $2.0\mu \mathrm{J}$ に増えます。

検算のしかた

答えは必ず $C_0$ と ${\epsilon }_{\mathrm{r}}{C}_0$ のあいだに入ります。$100$ より小さい値や $400$ より大きい値が出たら、式の形を間違えています。

並列のほうが直列より大きくなる点も見ます。$250>160$ で、半分ずつなら必ずこの順になる。

極端な場合に戻すのも早い。${\epsilon }_{\mathrm{r}}=1$ を入れれば、どちらの式も $C_0$ を返すはずです。

境界の向きさえ見れば、並列か直列かは迷いません。図に電場の矢印を書き込むと、判断が速くなります。

板の置き方を見て、境界が電場に平行か垂直かを決める。そこから先は、並列と直列の式を当てるだけになります。

参考